余元公式及证明

· · 算法·理论

余元公式 \operatorname{Γ}(s)\operatorname{Γ}(1-s)=\frac{π}{\sin(πs)}(0<s<1) 在数学中有着极其重要的地位，但是在高数中却没有证明。

下面是一种证明

由 \Gamma(s)\Gamma(1-s)=B(s,1-s)=\displaystyle \int_0^1 t^{s-1}(1-t)^{-s}\mathop{}\!\mathrm{d} t=\displaystyle \int_0^1{\frac{1}{t}} (\frac{t}{1-t})^s\mathop{}\!\mathrm{d} t

令 x=\frac{t}{1-t}，则 t=\frac{x}{1+x}dt=\frac{1}{(1+x)^2}dx 则 {\Gamma}(s){\Gamma}(1-s)=\displaystyle \int_0^∞ \frac{1+x}{x}x^s\frac{1}{(1+x)^2}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\displaystyle \int_0^∞ \frac{x^{s-1}}{1+x}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\displaystyle \int_0^1 \frac{x^{s-1}}{1+x}\mathop{}\!\mathrm{d} x+\displaystyle \int_1^∞ \frac{x^{s-1}}{1+x}\mathop{}\!\mathrm{d} x=I_1+I_2

对于 I_2=\displaystyle \int_1^∞ \frac{x^{s-1}}{1+x}\mathop{}\!\mathrm{d} x，可令 x=\frac{1}{t}，则 I_2=\displaystyle \int_0^ 1\frac{t^{-s}}{1+t}\mathop{}\!\mathrm{d} t\displaystyle \int_0^1 \frac{x^{-s}}{1+x}\mathop{}\!\mathrm{d} x

则 \Gamma(s)\Gamma(1-s)=I_1+I_2=\displaystyle \int_0^1 (x^{s-1}+x^{-s})\sum_{k=0}^{∞}(-x)^k\mathop{}\!\mathrm{d} x=\displaystyle \int_0^1 \sum_{k=0}^{∞}(-1)^k x^{k+s-1}\mathop{}\!\mathrm{d} x+\displaystyle \int_0^1 \sum_{k=0}^{∞}(-1)^k x^{k-s}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\sum_{k=0}^{∞} \frac{(-1)^k}{k+s}+\sum_{k=0}^{∞} \frac{(-1)^k}{k-s+1}=\frac{1}{s}+\sum_{k=1}^{∞} \frac{(-1)^k}{k+s}+\sum_{k=1}^{∞} \frac{(-1)^{k-1}}{k-s}=\frac{1}{s}+\sum_{k=1}^{∞}\frac{(-1)^k·2s}{s^2-k^2}

记 f(x)=\cos(sx)，现将 f(x) 进行 Fourier 展开

则 a_n=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^{π} \cos(sx)\cos(nx)\mathop{}\!\mathrm{d} x=\frac{(-1)^n·2s·\sin(πs)}{π(s^2-n^2)}

其中 n=0,1,2,……. 且 b_n=\frac{1}{π}\displaystyle \int_{-π}^π \cos(sx)\sin(nx)\mathop{}\!\mathrm{d} x=0

则 \cos(sx)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{∞}(a_n\cos(nx)b_n\sin(nx))

即 \cos(sx)=\frac{\sin(πs)}{πs}+\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n·2s·sin(πs)}{π(s^{2}-n^{2})}

令x=0，得 \displaystyle1=\frac{\sin(πs)}{πs}+\frac{\sin(πs)}{π}\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^{n}·2s}{s^{2}-n^{2}}

即 \displaystyle\sum_{n=1}^{∞}\frac{(-1)^n·2s}{s^2-n^2}=\frac{π}{\sin(πs)}-\frac{1}{s}

故 \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{1}{s}+\sum_{k=1}^{∞}\frac{(-1)^k·2s}{s^2-k^2}=\frac{1}{s}+\frac{π}{\sin(πs)}-\frac{1}{s}=\frac{π}{\sin(πs)} 其中 (0<s<1)

证毕

（打了一晚上了，点个赞吧）