P4395 [BOI2003]Gem 气垫车 题解

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一道很经典的树形dp。

看完题，首先想到直接用1，2依次染色，但这种贪心思路是错的。

这里给一个hack数据：10 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 7 2 8 2 9 2 10。

画完图可以很容易地看出最优方案应为1，2节点分别填2，3，其余点填1。

做到这里，我们就可以知道填的权值的最大值不一定为2，但它有一个上界大致为logn+1，具体怎么证明我也不太清楚，大家可以看看其他大佬的题解。

知道上界，这道题就很简单了，设f[x][i]表示节点x取值为i时，子树内权值和最小值。

对于每个节点，依次枚举自己和儿子的权值，取最小值转移即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int head[N],ver[N],net[N],tot;
int n,f[N][20],ans=0x3f3f3f3f;
void add(int a,int b){
    net[++tot]=head[a];
    head[a]=tot;
    ver[tot]=b;
}
void dfs(int x,int fa){
    for(int i=1;i<=15;i++){
        f[x][i]=i;//初始化 
    }
    for(int i=head[x];i;i=net[i]){
        int v=ver[i];
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,x);
        for(int j=1;j<=15;j++){
            int minn=0x3f3f3f3f;
            for(int k=1;k<=15;k++){//找最小值，并且不与当前值相同 
                if(j!=k)minn=min(minn,f[v][k]);
            }
            f[x][j]+=minn;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=15;i++){
        ans=min(ans,f[1][i]);//找最小值 
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}