题解 P4725 【【模板】多项式对数函数（多项式 ln）】
Kinesis
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题解
关于在模意义下当且仅当[x^0]f(x) = 1时，f(x)有对数多项式的问题
看到题解有一样和我感到疑惑的谷友：
貌似也没有大佬给一个比较充分的解释，这里就关于这个问题写（水）一篇博客吧。
定理：在模意义下当且仅当[x^0]f(x) = 1时，f(x)有对数多项式。
证明：
根据微积分的基本运算规则，我们可以用求导，再积分的方式求得多项式f的对数：\ln{f(x)} \equiv \int \mathrm{d} \ln f(x) \equiv \int\frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm{d} x \pmod{x^{n}},其中\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx是\frac{f'(x)}{f(x)}的 反导函数，亦称不定积分，其等于\ln f(x) + c，c为积分常数；由于\ln f(x)是已经确定的函数，我们可以确定应用微积分基本定理\ln f(x) = \int_0^x\frac{f'(t)}{f(t)}dt + \ln f(0)来确定积分常数c = \ln f(0)。
我们知道一个数在\bmod p下有意义当且仅当该数是有理数，其表示为\frac{a}{b},(a,b)=1,且(b,p) = 1。由于采用求导再积分的方式来求多项式f的对数，对于a'_ix^i,i>0的项数来说，系数均是非负整数，故在模p,一般p = 998244353下必定是有意义的，故是否存在对数多项式，等价于讨论常数项是否在模p下有意义。
对于多项式f(x) = \sum\limits_{i=0}^n a_ix^i,f(0) = a_0，故积分常数为c = \ln a_0,a_0\in Z。
此时再给出一个引理：当a_0 \neq 1，\ln a_0 \notin Q,Q为有理数。证明：式子c = \ln a_0 \Leftrightarrow a_0 = e^c,而对于\forall c \in Q,e^c \notin Q，由于底数e是超越数，故不存在有理数a_0使得存在有理数c让e^c也为有理数，也就是a_0,c\in Q时等式不成立。
所谓超越数是相对于代数数来说的。代数数指的是能作为一个整数系数多项式的复根，即当一个数x_0为代数数，必存在一个整数多项式f满足f(x_0) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}a_ix_0^i = 0（具体可以看wikipedia-代数数）。而超越数则不能成为任何整数多项式的根。关于自然常数e为什么是超越数，链接里有根据采取希尔伯特的策略来证明e是超越数，有基本高数知识就能理解（菜鸡笔者理解了一晚上QAQ）。
引理的证明：
由于e是超越数，故不存在整数多项式f使f(e) = 0。我们构造一个整数多项式f(x) = x^n - b_0，f(e) = e^n - b_0 \neq 0，引理得证。故只要[x^0]f(x) \neq 1，取对数后就不可能是有理数，也就在模意义下不存在啦~（另外得到了Karry老师的帮助，他是用“当原函数的常数项不等于1，其取对数后不收敛”的用语，可以等价于在模下没有意义）。
故对于多项式f，当且仅当[x^0]f(x) = 1时有对数多项式\ln f；指数多项式亦是同理。