CF1818B 题解
VitrelosTiAFO
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题解
一道挺有意思的构造题。我们将 n 分三类讨论。
$n$ 为其它奇数时，由于奇偶性，$n + 1$ 必然被 $2$ 整除，那么就有 $\sum\limits_{i = 1}^{n} A_i = \dfrac{n \times (n + 1)}{2} = n \times (\dfrac{n + 1}{2})$，显然被 $n$ 整除，所以此时一定不满足条件，输出 `-1`。
$n$ 为偶数时，构造 $2, 1, 4, 3 \cdots n, n - 1$ 的序列，接下来说明这种方式为什么是对的。
首先假如当题目中的 $l$ 和 $r$ 奇偶性不同时，容易推出 $\sum\limits_{i = l}^{r} A_i = \dfrac{(r - l + 1) \times (l + r)}{2}$，然后由于奇偶性，$r - l + 1$ 必然被 $2$ 整除， $l + r$ 必然不被 $2$ 整除，所以这个式子可以变为 $\dfrac{r - l + 1}{2} \times (l + r)$，再结合 $l + r$ 不被 $2$ 整除，这个式子显然不能被 $r - l + 1$ 整除。
当 $l$ 和 $r$ 奇偶性相同时，假如同时是奇数，容易推出 $\sum\limits_{i = l}^{r} A_i = \dfrac{(r - l + 1) \times (l + r)}{2} + 1$；假如同时是偶数，容易推出 $\sum\limits_{i = l}^{r} A_i = \dfrac{(r - l + 1) \times (l + r)}{2} - 1$。由于奇偶性，$l + r$ 必然被 $2$ 整除，于是 $\dfrac{(r - l + 1) \times (l + r)}{2} = \dfrac{l + r}{2} \times (r - l + 1)$，显然被 $r - l + 1$ 整除，所以易知这里的两种情况都是不被 $r - l + 1$ 整除的。
所以这种构造必然正确。
```cpp
void solve() {
scanf ("%d", &n);
if (n == 1) { cout << 1 << '\n'; return; }
if (n & 1) { cout << -1 << '\n'; return; }
for (int i = 2; i <= n; i += 2) cout << i << ' ' << i-1 << ' ';
putchar(10);
}
```