题解 P5342 【[TJOI2019]甲苯先生的线段树】

花淇淋 · 2019-05-12 15:35:54 · 题解

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P5342 [TJOI2019]甲苯先生的线段树

Solution

• 对于 c=1，由于路径长度为 O(d) 级别，只要知道 lca(x,y) 就是 x,y 二进制下的 lcp 就可以做了。

• 对于 c=2，先和 c=1 一样求出路径编号和，然后要知道一个显然性质和一个神仙性质：

  $(2).$ 记路径的编号和为 $s$，路径的两个端点为 $x,y$，$lca(x,y)=z$，$x→z$ 要经过 $a$ 条边，$y→z$ 要经过 $b$ 条边。那么当 $a,b,s$ 都为定值时，$z$ 也必为定值。 ****

• 考虑证明性质 (2): 把路径 x→y(x<y) 上的每个点编号写成二进制，它们的 lcp 就是 z 的二进制。记 z 的二进制有 t 位，那么先算出每个点编号前 t 位的值的贡献。z 的贡献是 z，z 的每个儿子的贡献是 2z，每个孙子的贡献是 4z，依此类推，可以得出前 t 位的总贡献 v 为：

  z+2z+4z+....+2^{a}z+z+2z+4z+...+2^{b}z-z =(2^{a+1}+2^{b+1}-3)z

• 记 k 为其它贡献，即：vz+k=s 讨论 k 的取值范围（先假设 a,b>0）：

  $2.$ $z$ 往左走 $1$ 步，然后往**右**走 $a-1$ 步到 $x$；$z$ 往右走 $1$ 步，然后往**右**走 $b-1$ 步到 $y$。路径 $x→z$ 对 $k$ 的贡献为 $2^a-a-1$，$y→z$ 对 $k$ 的贡献为 $2^{b+1}-b-2$，此时 $k$ 取最**大**值。 综上所述，$k∈[2^b-1,2^a+2^{b+1}-a-b-3]$。

• 发现 k < v，那么 z=s/v,k=s\%v，v 的值只和 a,b 有关，所以 z 为定值，证毕。

• 那么问题转化为：找到两个数 p,q（就是 x,y 砍掉前 t 位之后的值，砍掉前 t 位后，x最高位是 0，y 最高位是 1），p<2^{a-1},q<2^b,2(p+q)-cnt(p)-cnt(q)=k，注意 q 的 2^{b-1} 位必须为 1。

• 枚举 cnt(p)+cnt(q)，得到 a+b=w，做数位dp，f[i][j][k=0/1] 表示从个位开始（a,b 同时填），填了 i 位，此时共填 j 个 1，是否进位到第 i+1 位，要求 a+b 的每一位都和 w 对上即可。

• 注意细节，注意多开 long long，注意树高对 a,b,z 值的限制。

• 时间复杂度 O(d^5)，常数显然很小。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

template <class t>
inline void read(t & res)
{
    char ch;
    while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
    res = ch ^ 48;
    while (ch = getchar(), isdigit(ch))
    res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

template <class t>
inline void print(t x)
{
    if (x > 9) print(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}

const int e = 205;
ll f[e][e][2], ans;
bool a1[e], b1[e];

inline ll dp(int a, int b, ll s, int c)
{
    int i, j, t, x, y, bit = max(max(a - 1, b), (int)log2(s) + 1) + 1; 
    bool flag = a == 3 && b == 2;
    for (i = 0; i < bit; i++)
    for (j = 0; j <= c; j++)
    f[i][j][0] = f[i][j][1] = 0;
    i = 0;
    for (x = 0; x <= 1; x++)
    for (y = 0; y <= 1; y++)
    {
        int k = x + y >> 1, z = x + y & 1;
        if (i == b - 1 && !y) continue;
        if (z != (s & 1)) continue;
        if (i > b - 1 && y) continue;
        if (i > a - 2 && x) continue;
        f[0][x + y][k]++;
    }
    for (i = 0; i < bit - 1; i++)
    {
        ll d = s & (1ll << i + 1);
        if (d) d = 1;
        for (j = 0; j <= c; j++)
        for (t = 0; t <= 1; t++)
        if (f[i][j][t])
        for (x = 0; x <= 1; x++)
        for (y = 0; y <= 1; y++)
        {
            int now = x + y + t, k = now >> 1, z = now & 1;
            if (i + 1 == b - 1 && !y) continue;
            if (z != d) continue;
            if (i + 1 > b - 1 && y) continue;
            if (i + 1 > a - 2 && x) continue;
            f[i + 1][j + x + y][k] += f[i][j][t];
        }
    }
    return f[bit - 1][c][0];
}

inline ll calc(ll x)
{
    ll res = x << 1;
    while (x) res -= x & 1, x >>= 1;
    return res;
}

int main()
{
    int i, lx, ly, op, tst, h;
    ll x, y, z;
    read(tst);
    while (tst--)
    {
        read(h); read(x); read(y); read(op);
        ll x2 = x, y2 = y;
        lx = ly = z = 0;
        while (x) a1[++lx] = x & 1, x >>= 1;
        while (y) b1[++ly] = y & 1, y >>= 1;
        reverse(a1 + 1, a1 + lx + 1);
        reverse(b1 + 1, b1 + ly + 1);
        for (i = 1; i <= lx && i <= ly; i++)
        if (a1[i] == b1[i]) z = z * 2 + a1[i];
        else break;
        ll s = calc(x2) + calc(y2) - calc(z) - calc(z >> 1);
        if (op == 1)
        {
            print(s);
            putchar('\n');
            continue;
        }
        ans = 0;
        for (int a = 0; a < h; a++)
        for (int b = 0; b < h; b++)
        {
            ll y = ((1ll << a + 1) + (1ll << b + 1) - 3), x = s / y;
            if (!x) continue;
            if ((int)log2(x) + 1 + max(a, b) > h) continue;
            ll k = s - x * y;
            for (int c = 0; c <= a + b; c++) 
            if ((k + c) % 2 == 0) ans += dp(a, b, k + c >> 1, c);
        }
        print(ans - 1);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}
            ll k = s - x * y;
            for (int c = 0; c <= a + b; c++) 
            if ((k + c) % 2 == 0) ans += dp(a, b, k + c >> 1, c);
        }
        print(ans - 1);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}