\begin {aligned}
\sum _ {\sigma} \prod _ {i = 1} ^ n \frac {a _ {\sigma(i)}} {\sum _ {j = 1} ^ i a _ {\sigma(j)}} = 1
\end {aligned}
其中 \sigma 为所有 n 级排列。换言之，
E \left( \prod _ {i = 1} ^ n \frac {a _ {\sigma(i)}} {\sum _ {j = 1} ^ i a _ {\sigma(j)}} \right) = \frac {1} {n!}
引理的证明：构建形如 此题 的组合模型即可。
回到原题，先固定所有的 r，记其从小到大依次为 1\le r _ 1 < r _ 2 < \cdots < r _ k \le n，则 l 需要满足 1\le l _ 1 \le r _ 1, r _ 1 < l _ 2 \le r _ 2, \cdots, r _ {k - 1} < l _ k \le r _ k。记 a _ i = r _ i - r _ {i - 1}；特别的，a _ 1 = r _ 1。那么，选出若干 l 使这些区间不交的概率即为 P (a) = \prod _ {i = 1} ^ n \frac {a_i} {\sum _ {j = 1} ^ i a _ j}。
引理启示我们，如果可重集 \{a _ 1, a _ 2, \cdots, a _ k\} 固定不变，那么其每一种本质不同的重排的 P (a) 的期望即为 \frac{1}{k!}（虽然所有 k! 种重排有可能有重复，但是由对称性，每一种本质不同的重排地位均等，所以其期望不变）。从而总的概率可以视作 \frac {n ^ {\underline k}} {n ^ k} \cdot \frac {1} {k!}= \frac {\binom n k} {n ^ k}，即为答案。