浅谈偏导数
Chase12345
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算法·理论
这是一篇有关简单偏导数的内容。
啥？你问我为什么要学？不知道。
新初一学生自学，可能不太详细，求轻点喷，谢谢各位巨佬！
定义
无论如何，开篇必然是定义。他和导数的定义很类似。
对于一个二元函数 z=f(x,y)，定义域 D，点 (x_0,y_0) \in D。
对 x 的偏导数：固定 y=y_0，函数 f(x,y_0) 在 x_0 处的导数：
\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
对 y 的偏导数：固定 x=x_0，函数 f(x_0,y) 在 y_0 处的导数：
\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)}=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}
推广：对于 n 元函数 f(x_1,x_2,\dots,x_n)，偏导数 \frac{\partial f}{\partial x_i} 为固定其它变量，对 x_i 求导。
几何意义
对于二元函数 z=f(x,y)：
（哎怎么越看越像一元函数求导啊
法则
首先，先简单讲一下偏导数的运算方法：
例如求 \frac{\partial f}{\partial x}，我们可以将 f(x,y) 中 y 看作常数，进行求导。（哦这就是偏导啊）
那么到了运算法则了。
欸怎么和求导一样啊。
然后一些奇怪运算法则也需要给出来。
然后很重要的一个（真的很重要啊要记一记啊 qwq）
设 z=f(x,y)，并且 x,y 又是两个变量 u,v 的函数，即 x=x(u,v) 和 y=y(u,v)，则 z 关于 u,v 的偏导可以通过以下链式法则算：
-
$$
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}
$$
-
$$
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v}
$$
推广呢？哦 n 元函数啊。
设 z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)，且每个 x_i 依赖于 u,v，则：
\frac{\partial z}{\partial u}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial x_i}{\partial u}
真好。
神奇的东西
呃呃还有一些奇怪的函数也可以求偏导。这里列举出来：
以下均为二元函数 z=f(x,y)。
三角
普通
-
\frac{\partial}{\partial x} \sin(z)=\cos(z) \frac{\partial z}{\partial x}
-
-
其它三个可以自己乱搞的。
反三角
双曲
指数
由 a^z=e^{z\ln a}，容易得到：
\frac{\partial}{\partial x} a^z=a^z\ln a\frac{\partial z}{\partial x}
特别地，
\frac{\partial}{\partial x} e^z=e^z\frac{\partial z}{\partial x}
对数
可以通过换底公式，并结合一个神奇的公式：
\frac{\partial}{\partial x} \ln z=\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x}
得到：
\frac{\partial}{\partial x} \log_a z=\frac{1}{z \ln a} \frac{\partial z}{\partial x}
极值问题
对于极值的定义，这里不再讲。因为这和一元函数中的极值的定义是几乎一样的。
极值的必要条件
若函数 z=f(x,y) 在 (x_0,y_0) 处可微且取到极值，则：
\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(x_0,y_0)} =0,\left.\frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(x_0,y_0)}=0
此时点 (x_0,y_0) 被称为驻点。
极值的充分条件
设 (x_0, y_0) 是驻点，且函数在该点有二阶连续偏导数，令：
A = \left. \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \right|_{(x_0,y_0)},
B = \left. \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right|_{(x_0,y_0)},
C = \left. \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \right|_{(x_0,y_0)}
判别式 D = AC - B^2：
- 若 D > 0 且 A > 0，则 f(x_0, y_0) 为极小值。
- 若 D > 0 且 A < 0，则 f(x_0, y_0) 为极大值。
- 若 D < 0，则 (x_0, y_0) 不是极值点（称为鞍点）。
- 若 D = 0，无法确定。
求法
先求一阶偏导，然后解方程：
\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}
得到驻点，然后求二阶偏导，并用判别式，就可以了。
条件极值
即 g(x,y)=0，求 f(x,y) 极值。
只能拉格朗日乘数。
拉格朗日函数：
L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)
之后，求偏导解方程组：
\begin{cases}
\dfrac{\partial L}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \lambda \dfrac{\partial g}{\partial x} = 0 \\
\dfrac{\partial L}{\partial y} = \dfrac{\partial f}{\partial y} + \lambda \dfrac{\partial g}{\partial y} = 0 \\
\dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x,y) = 0
\end{cases}
解的 (x,y) 即为可能的极值点。
拉乘扩展到多元极值
对于多元极值同理。
求 f(x_1,x_2,\cdots,x_n) 的极值。
对于一个方程组：
\begin{cases}
f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\\
f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\\
\vdots\\
f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0
\end{cases}
我们可以构造拉格朗日函数：
L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)= f(x_1,x_2,\cdots,x_n)-\lambda_1f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) -\cdots-\lambda_mf_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)
解：
\begin{cases}
\dfrac{\partial L}{\partial x_1}=0\\
\dfrac{\partial L}{\partial x_2}=0\\
\vdots\\
\dfrac{\partial L}{\partial x_n}=0\\
\dfrac{\partial L}{\partial \lambda_1}=0\\
\vdots\\
\dfrac{\partial L}{\partial \lambda_m}=0
\end{cases}
这个方程，得到所有可能的极值，一个一个验就行了。
例题
一
求 f(x,y)=x^3+y^3-3xy 的极值。
一阶偏导：f_x=3x^2-3y，f_y=3y^2-3x。
驻点方程得：(0,0) 和 (1,1)，自行验算，(0,0) 鞍点，(1,1) 极小值点。
二
不放过程了。答案：$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$。按照上面推就行了。
# 总结
偏导数是一个很神奇的东西，二元函数无法求导，就变成了偏导。偏导可以用来求极值问题或者一些奇怪的东西。
# Update
突然发现漏了拉乘的多元情况。