题解 P3384 【【模板】树链剖分】

[更好的阅读体验及例题点这里](http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094500.html) ## 前言 - 树链剖分是什么？ 树链剖分，说白了就是一种让你代码不得不强行增加1k的数据结构-dms - 有什么用？ ~~证明出题人非常毒瘤~~ 可以非常友(bao)好(li)的解决一些树上问题 ## 核心思想 树链剖分的思想比较神奇 它的思想是：**把一棵树拆成若干个不相交的链，然后用一些数据结构去维护这些链** 那么问题来了 - 如何把树拆成链？ 首先明确一些定义 **重儿子**：该节点的子树中,节点个数最多的子树的根节点(也就是和该节点相连的点)，即为该节点的重儿子 **重边**：连接该节点与它的重儿子的边 **重链**：由一系列重边相连得到的链 **轻链**：由一系列非重边相连得到的链 这样就不难得到拆树的方法 **对于每一个节点，找出它的重儿子，那么这棵树就自然而然的被拆成了许多重链与许多轻链** - 如何对这些链进行维护？ 首先，要对这些链进行维护，就要确保每个链上的节点都是连续的， 因此我们需要对整棵树进行重新编号，然后利用dfs序的思想，用线段树或树状数组等进行维护（具体用什么需要看题目要求，因为线段树的功能比树状数组强大，所以在这里我就不提供树状数组的写法了） 注意在进行重新编号的时候先访问重链 这样可以保证重链内的节点编号连续 上面说的太抽象了，结合一张图来理解一下  对于一棵最基本的树 给他标记重儿子，  蓝色为重儿子，红色为重边 然后对树进行重新编号  橙色表示的是该节点重新编号后的序号 不难看出重链内的节点编号是连续的 然后就可以在线段树上搞事情啦 像什么区间加区间求和什么的 另外有一个性质：以$i$为根的子树的树在线段树上的编号为$[i,i+子树节点数-1]$ 接下来结合一道例题，加深一下对于代码的理解 ## 代码 首先来一坨定义 ```cpp int deep[MAXN];//节点的深度 int fa[MAXN];//节点的父亲 int son[MAXN];//节点的重儿子 int tot[MAXN];//节点子树的大小 ``` ### 第一步 按照我们上面说的，我们首先要对整棵树dfs一遍，找出每个节点的重儿子 顺便处理出每个节点的深度，以及他们的父亲节点 ```cpp int dfs1(int now,int f,int dep) { deep[now]=dep; fa[now]=f; tot[now]=1; int maxson=-1; for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt) { if(edge[i].v==f) continue; tot[now]+=dfs1(edge[i].v,now,dep+1); if(tot[edge[i].v]>maxson) maxson=tot[edge[i].v],son[now]=edge[i].v; } return tot[now]; } ``` ### 第二步 然后我们需要对整棵树进行重新编号 我把一开始的每个节点的权值存在了$b$数组内 ```cpp void dfs2(int now,int topf) { idx[now]=++cnt; a[cnt]=b[now]; top[now]=topf; if(!son[now]) return ; dfs2(son[now],topf); for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt) if(!idx[edge[i].v]) dfs2(edge[i].v,edge[i].v); } ``` $idx$表示重新编号后该节点的编号是多少 另外，这里引入了一个$top$数组， $top[i]$表示$i$号节点所在重链的头节点(最顶上的节点) 至于这个数组有啥用，后面再说 ### 第三步 我们需要根据重新编完号的树，把这棵树的上每个点映射到线段树上， ```cpp struct Tree { int l,r,w,siz,f; }T[MAXN]; void Build(int k,int ll,int rr) { T[k].l=ll;T[k].r=rr;T[k].siz=rr-ll+1; if(ll==rr) { T[k].w=a[ll]; return ; } int mid=(ll+rr)>>1; Build(ls,ll,mid); Build(rs,mid+1,rr); update(k); } ``` 另外线段树的基本操作， 这里就不详细解释了 直接放代码 ```cpp void update(int k)//更新 { T[k].w=(T[ls].w+T[rs].w+MOD)%MOD; } void IntervalAdd(int k,int ll,int rr,int val)//区间加 { if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr) { T[k].w+=T[k].siz*val; T[k].f+=val; return ; } pushdown(k); int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1; if(ll<=mid) IntervalAdd(ls,ll,rr,val); if(rr>mid) IntervalAdd(rs,ll,rr,val); update(k); } int IntervalSum(int k,int ll,int rr)//区间求和 { int ans=0; if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr) return T[k].w; pushdown(k); int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1; if(ll<=mid) ans=(ans+IntervalSum(ls,ll,rr))%MOD; if(rr>mid) ans=(ans+IntervalSum(rs,ll,rr))%MOD; return ans; } void pushdown(int k)//下传标记 { if(!T[k].f) return ; T[ls].w=(T[ls].w+T[ls].siz*T[k].f)%MOD; T[rs].w=(T[rs].w+T[rs].siz*T[k].f)%MOD; T[ls].f=(T[ls].f+T[k].f)%MOD; T[rs].f=(T[rs].f+T[k].f)%MOD; T[k].f=0; } ``` ### 第四步 我们考虑如何实现对于树上的操作 树链剖分的思想是:对于两个不在同一重链内的节点,让他们不断地跳,使得他们处于同一重链上 那么如何"跳”呢？ 还记得我们在第二次$dfs$中记录的$top$数组么？ 有一个显然的结论：$x$到$top[x]$中的节点在线段树上是连续的， 结合$deep$数组 假设两个节点为$x$,$y$ 我们每次让$deep[top[x]]$与$deep[top[y]]$中大的(在下面的)往上跳(有点类似于树上倍增) 让x节点直接跳到$top[x]$,然后在线段树上更新 最后两个节点一定是处于同一条重链的，前面我们提到过重链上的节点都是连续的，直接在线段树上进行一次查询就好 ```cpp void TreeSum(int x,int y)//x与y路径上的和 { int ans=0; while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y); ans=(ans+IntervalSum(1,idx[ top[x] ],idx[x]))%MOD; x=fa[ top[x] ]; } if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); ans=(ans+IntervalSum(1,idx[x],idx[y]))%MOD; printf("%d\n",ans); } void TreeAdd(int x,int y,int val)//对于x,y路径上的点加val的权值 { while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y); IntervalAdd(1,idx[ top[x] ],idx[x],val); x=fa[ top[x] ]; } if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); IntervalAdd(1,idx[x],idx[y],val); } ``` 在树上查询的这一步可能有些抽象，我们结合一个例子来理解一下  还是上面那张图，假设我们要查询$3.6$这两个节点的之间的点权合，为了方便理解我们假设每个点的点权都是$1$ 刚开始时 $top[3]=2,top[6]=1$ $deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1$ 我们会让$3$向上跳,跳到$top[3]$的爸爸,也就是$1$号节点  这时$1$号节点和$6$号节点已经在同一条重链内,所以直接对线段树进行一次查询即可 ### 对于子树的操作 这个就更简单了 因为一棵树的子树在线段树上是连续的 所以修改的时候直接这样 IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD); ## 时间复杂度 ### 性质1 如果边$\left( u,v\right)$,为轻边,那么$Size\left( v\right) \leq Size\left( u\right) /2$。 证明：显然，否则该边会成为重边 ### 性质2 树中任意两个节点之间的路径中轻边的条数不会超过$\log _{2}n$,重路径的数目不会超过$\log _{2}n$ 证明：不会 有了上面两条性质，我们就可以来分析时间复杂度了 由于重路径的数量的上界为$\log _{2}n$， 线段树中查询/修改的复杂度为$\log _{2}n$ 那么总的复杂度就是$\left( \log _{2}n\right) ^{2}$ ## 完整代码 ```cpp #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int MAXN=2*1e6+10; #define ls k<<1 #define rs k<<1|1 inline char nc() { static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf; return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; } inline int read() { char c=nc();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=nc();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0',c=nc();} return x*f; } struct node { int u,v,nxt; }edge[MAXN]; int head[MAXN]; int num=1; struct Tree { int l,r,w,siz,f; }T[MAXN]; int N,M,root,MOD,cnt=0,a[MAXN],b[MAXN]; inline void AddEdge(int x,int y) { edge[num].u=x; edge[num].v=y; edge[num].nxt=head[x]; head[x]=num++; } int deep[MAXN],fa[MAXN],son[MAXN],tot[MAXN],top[MAXN],idx[MAXN]; int dfs1(int now,int f,int dep) { deep[now]=dep; fa[now]=f; tot[now]=1; int maxson=-1; for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt) { if(edge[i].v==f) continue; tot[now]+=dfs1(edge[i].v,now,dep+1); if(tot[edge[i].v]>maxson) maxson=tot[edge[i].v],son[now]=edge[i].v; } return tot[now]; } void update(int k) { T[k].w=(T[ls].w+T[rs].w+MOD)%MOD; } void Build(int k,int ll,int rr) { T[k].l=ll;T[k].r=rr;T[k].siz=rr-ll+1; if(ll==rr) { T[k].w=a[ll]; return ; } int mid=(ll+rr)>>1; Build(ls,ll,mid); Build(rs,mid+1,rr); update(k); } void dfs2(int now,int topf) { idx[now]=++cnt; a[cnt]=b[now]; top[now]=topf; if(!son[now]) return ; dfs2(son[now],topf); for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt) if(!idx[edge[i].v]) dfs2(edge[i].v,edge[i].v); } void pushdown(int k) { if(!T[k].f) return ; T[ls].w=(T[ls].w+T[ls].siz*T[k].f)%MOD; T[rs].w=(T[rs].w+T[rs].siz*T[k].f)%MOD; T[ls].f=(T[ls].f+T[k].f)%MOD; T[rs].f=(T[rs].f+T[k].f)%MOD; T[k].f=0; } void IntervalAdd(int k,int ll,int rr,int val) { if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr) { T[k].w+=T[k].siz*val; T[k].f+=val; return ; } pushdown(k); int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1; if(ll<=mid) IntervalAdd(ls,ll,rr,val); if(rr>mid) IntervalAdd(rs,ll,rr,val); update(k); } void TreeAdd(int x,int y,int val) { while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y); IntervalAdd(1,idx[ top[x] ],idx[x],val); x=fa[ top[x] ]; } if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); IntervalAdd(1,idx[x],idx[y],val); } int IntervalSum(int k,int ll,int rr) { int ans=0; if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr) return T[k].w; pushdown(k); int mid=(T[k].l+T[k].r)>>1; if(ll<=mid) ans=(ans+IntervalSum(ls,ll,rr))%MOD; if(rr>mid) ans=(ans+IntervalSum(rs,ll,rr))%MOD; return ans; } void TreeSum(int x,int y) { int ans=0; while(top[x]!=top[y]) { if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y); ans=(ans+IntervalSum(1,idx[ top[x] ],idx[x]))%MOD; x=fa[ top[x] ]; } if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); ans=(ans+IntervalSum(1,idx[x],idx[y]))%MOD; printf("%d\n",ans); } int main() { #ifdef WIN32 freopen("a.in","r",stdin); #else #endif memset(head,-1,sizeof(head)); N=read();M=read();root=read();MOD=read(); for(int i=1;i<=N;i++) b[i]=read(); for(int i=1;i<=N-1;i++) { int x=read(),y=read(); AddEdge(x,y);AddEdge(y,x); } dfs1(root,0,1); dfs2(root,root); Build(1,1,N); while(M--) { int opt=read(),x,y,z; if(opt==1) { x=read();y=read();z=read();z=z%MOD; TreeAdd(x,y,z); } else if(opt==2) { x=read();y=read(); TreeSum(x,y); } else if(opt==3) { x=read(),z=read(); IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD); } else if(opt==4) { x=read(); printf("%d\n",IntervalSum(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1)); } } return 0; } ```