题解 P2505 【[HAOI2012]道路】

· · 题解

首先介绍一个原则：i→j的最短路径的任意一条子路径u→v都是最短路径。

证明：假设存在一条子路径u→v不是最短路径，那么一定能够找到一条更短的u→v的路径使i→j的路径更短。

根据这个原则，可以得出，在固定源点S时，存在G的一个子图G'，使得G'的每一条边都在S到其他至少一个点的最短路径上，且G'以外的边不在S到任意一个点的最短路径上。这里把G'称为源点为S时G的最短路图。判断一条边u→v是否在最短路图中，只需判断是否dis[u]+val(u→v)==dis[v]。其中val(u→v)为边u→v的长度。

再介绍一个原则：对于任意边权为正数的图G和任意源点S，最短路图G'上不存在环。

证明：设存在环u_1→u_2→...→u_t→u_1，则有dis[u_2]=dis[u_1]+val(u_1→u_2)，dis[u_3]=dis[u_2]+val(u_2→u_3)，…，dis[u_t]=dis[u_{t-1}]+val(u_{t-1}→u_t)，dis[u_1]=dis[u_t]+val(u_t→u_1)。由于边权均为正数，所以从上面可以同时得出dis[u_t]>dis[u_1]和dis[u_t]<dis[u_1]。从这个矛盾得出不存在环。

回到问题。首先枚举最短路的起点S，跑SPFA后构造出最短路图。

由于不存在环，所以这里进行拓扑排序。

先按照拓扑序，求出任意一个点u，S到u的最短路径的数目cnt_1[u]。很显然，cnt_1[S]=1，如果最短路图上存在边u→v，则cnt_1[v]+=cnt_1[u]。

再按照拓扑序的逆序，求出任意一个点u，在最短路图上以u为起点的路径条数cnt_2[u]。容易得到，如果先把每个点的cnt_2设为1（路径中只包含u），那么如果最短路图上存在边u→v，则cnt_2[u]+=cnt_2[v]。

统计贡献。对于在最短路图上的一条边u→v，贡献为cnt_1[u]*cnt_2[v]。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 1505, M = 5005, INF = 0x3f3f3f3f, PYZ = 1e9 + 7;
int n, m, ecnt, nxt[M], adj[N], st[M], go[M], val[M], dis[M], len, que[M << 1],
cnt[N], cnt1[N], cnt2[N], H, T, tot, q[N], ans[M];
bool vis[N], ins[M];
void add_edge(int u, int v, int w) {
    nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; st[ecnt] = u; go[ecnt] = v; val[ecnt] = w;
}
void spfa(int S) {
    int i; memset(dis, INF, sizeof(dis));
    memset(ins, 0, sizeof(ins));
    dis[que[len = 1] = S] = 0;
    for (i = 1; i <= len; i++) {
        int u = que[i]; vis[u] = 0;
        for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e])
            if (dis[u] + val[e] < dis[v = go[e]]) {
                dis[v] = dis[u] + val[e];
                if (!vis[v]) vis[que[++len] = v] = 1;
            }
    }
    for (i = 1; i <= m; i++)
        if (dis[st[i]] + val[i] == dis[go[i]])
            ins[i] = 1;
}
void topo(int S) {
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    memset(cnt1, 0, sizeof(cnt1));
    memset(cnt2, 0, sizeof(cnt2));
    int i; H = tot = 0; cnt1[que[T = 1] = S] = 1;
    for (i = 1; i <= m; i++) if (ins[i]) cnt[go[i]]++;
    while (H < T) {
        int u = que[++H]; q[++tot] = u;
        for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {
            if (!ins[e]) continue;
            v = go[e]; if (!(--cnt[v])) que[++T] = v;
            (cnt1[v] += cnt1[u]) %= PYZ;
        }
    }
    for (i = tot; i; i--) {
        int u = q[i]; cnt2[u]++;
        for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {
            if (!ins[e]) continue;
            (cnt2[u] += cnt2[v = go[e]]) %= PYZ;
        }
    }
}
void solve(int S) {
    int i; spfa(S); topo(S);
    for (i = 1; i <= m; i++) if (ins[i])
        (ans[i] += 1ll * cnt1[st[i]] * cnt2[go[i]] % PYZ) %= PYZ;
}
int main() {
    int i, x, y, z; n = read(); m = read();
    for (i = 1; i <= m; i++) x = read(), y = read(),
        z = read(), add_edge(x, y, z);
    for (i = 1; i <= n; i++) solve(i);
    for (i = 1; i <= m; i++) printf("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}