简单的新做法

西江月·定风波 · 2026-11-11 10:01:25 · 题解

性质

一个必须被清空的格子，收到的球数等于分裂次数。

一个不必被清空的格子，分裂次数至少等于收到的球数减 1。

引理

任意格子不能分裂至少 3 次。

证明：如果一个格子分裂 3 次，它右边和下面的格子都收到 3 个球，至少要分裂 2 次，因此它右下的格子会收到 4 个球，也至少要分裂 3 次，归纳可得不可能在有限步内操作完。

结论一

结论：对于任意 n \times m 的格子，不妨设 n \leq m，则 n \ge 2 且 m \ge 3 时一定无解。

证明：n \ge 2 且 m \ge 3 时，第一次操作必然给 (1, 2) 和 (2, 1) 各一个球，而这两个格子必须清空，因此 (2, 2) 至少要拿到 2 个球并分裂两次，(1, 3) 也一定会拿到一个球并必须分裂一次，那么 (2, 3) 一定拿到至少 3 个球。因为 (2, 3) 也要清空，至少要分裂 3 次，由引理无解。

结论二

对于本题，n > 2 时无解。

证明： n > 3 时，包含一个 2 \times 3 的小矩形，根据结论一无解。