题解 P2217 【[HAOI2007]分割矩阵】

· · 题解

楼上的记搜和我差不多，可惜没怎么解释，以及楼上上竟然惊现七重循环???

记忆化搜索

首先均方差(标准差)的公式为σ=\sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-\overline{x})^2}{n}} (x_i是第i个矩阵的总分，\overline{x}为n个矩阵总分的平均数)

由于n不变，我们实际要求的就是(x_i-\overline{x})^2最小

那么有状态转移方程 **（枚举竖着切，**$i\in[b,d)$**）** $DP[a,b,c,d,num]=Min_{k=1}^{num-1}(DP[a,b,c,i,k]+DP[a,i+1,c,d,num-k])

（枚举横着切，i\in[a,c)）

DP[a,b,c,d,num]=Min_{k=1}^{num-1}(DP[a,b,i,d,k]+DP[i+1,b,c,d,num-k])

当num==1时，返回(sum[a,b,c,d]-\overline{x})^2

最后答案为\sqrt{\frac{DP[1][1][a][b][n]}{n}}

//niiick
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x))

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=17;
int n,m,k;
int a[maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
dd dp[maxn][maxn][maxn][maxn][maxn],ave;

dd qsum(int a,int b,int c,int d){return (dd)(sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1]);}

dd DP(int a,int b,int c,int d,int num)
{
    if(dp[a][b][c][d][num]) return dp[a][b][c][d][num];
    else if(num==1) return sqr(qsum(a,b,c,d)-ave);
    dp[a][b][c][d][num]=1e9;
    for(int i=b;i<d;++i)
    for(int j=1;j<num;++j)
    {
        dd tt=DP(a,b,c,i,j)+DP(a,i+1,c,d,num-j);
        dp[a][b][c][d][num]=min(dp[a][b][c][d][num],tt);
    }
    for(int i=a;i<c;++i)
    for(int j=1;j<num;++j)
    {
        dd tt=DP(a,b,i,d,j)+DP(i+1,b,c,d,num-j);
        dp[a][b][c][d][num]=min(dp[a][b][c][d][num],tt);
    }
    return dp[a][b][c][d][num];
}

int main()
{
    n=read();m=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
    a[i][j]=sum[i][j]=read(),
    sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];

    ave=(dd)sum[n][m]/(dd)k;
    printf("%.2lf",sqrt(DP(1,1,n,m,k)/(dd)k));
    return 0;
}