P3923 大学数学题 题解

littlez_meow · 2024-01-03 16:39:23 · 题解

混沌邪恶抽代入门题。

题目指路。

阅读本题解前，你需要了解域的定义和其他抽代基础知识。

既然是抽代题那就一个一个结论推吧。

解的存在性

【约定 1】在不易混淆的情况下，将域 (\mathbb{F},+,\times) 记为 \mathbb{F}，其加法单位元记为 0，乘法单位元记为 1。本文中的域均为有限域。

【定义 1】（域特征）对于有限域 \mathbb{F}，若 \exists p\in N^*,p\times1=0，则称最小的 p 为 \mathbb{F} 的特征。

【结论 1】有限域的特征是质数。

证明：设该有限域为 \mathbb{F}，其特征为 p。考虑反证法，设 p=r\times s,1<r,s<p。

根据 0=p\times1，带入得到 0=(r\times s)\times 1。

根据乘法结合律得到 r\times(s\times 1)=0。

又 r\neq0，故 s\times1=0，与 p 最小矛盾，原命题得证。

【定义 2】（子域与域扩张）若 F 是 P 的非空子集，(P,+,\times) 是域且 (F,+,\times) 是域，则称 (F,+,\times) 是 (P,+,\times) 的子域，(P,+,\times) 是 (F,+,\times) 的扩张，记为 (F,+,\times)\subseteq(P,+,\times)。

【定义 3】（扩域的次数）若域 F\subseteq K，K 可视为 F- 向量空间，其次数称为扩域的次数，记为 [K:F]。

【结论 2】若域 F\subseteq K 且 F 为 q 元有限域，则 K 为 q^m 元有限域，其中 m=[K:F]。

证明：因为 K 可视为 F 上 m 维向量空间，取 K 一组基向量，每个系数均有 q 种取值，共 m 个系数，乘法原理即得。

【约定 2】我们记 \mathbb{F}_p 为包含 p 个元素的域。显然当 p 为质数时该域存在（模 p 意义下整数域 \mathbb{Z}_p），且其无任何真子域。

【结论 3】（有限域元素个数）一个有限域 \mathbb{F} 有 p^n 个元素，其中 p 为其特征。

证明：显然 \mathbb{F}_p\subseteq\mathbb{F}，由结论 2 即得。

读者可以自己搜索 \mathbb{F}_p\subseteq\mathbb{F} 的证明。

由此可以得到：

【结论 4】（有限域的存在性和唯一性）\forall p,n，其中 p 为质数，n 为正整数，有限域 \mathbb{F}_{p^n} 存在且唯一。

该定理的证明与本题无关，在此略去。

综上，我们得到当 n 有且仅有一个质因数时，本题有解。即我们应在 case 3 与 case 14 输出 -1。

构造

请注意，有限域 \mathbb{F}_{p^m} 并不是模 p^m 意义下的整环。当且仅当 m=1 时二者同构。

也就是说，如果 n 为质数，直接当称普通模意义下的加法乘法就行。

那么，是质数的幂怎么办？设此时 n=p^m

根据结论 4，任何两个元素数相同的有限域同构。我们只需要找到一个现有的有限域 (\mathbb{F}_{p^m},+,\times)，然后构造一个双射 f:\mathbb{F}_{p^m}\to\{0,1,2,\cdots,p^m-1\} 即可。

那么有什么呢？