关于猫的一些性质
not_clever_syl
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休闲·娱乐
前情提要
如果通过了审核管理可以考虑把分区改成休闲娱乐（
设 \beta=(C,\times)。
这里讨论一下猫的运算表的性质。
（性质 A）由左右消去律可得，运算表的每一行每一列都是一个 C 的排列。
（性质 B）然后由于左右逆元是相等的，所以我们还要求 e 在运算表中出现的位置关于左上-右下对角线对称。
因此大小为 2 的猫只有一种：
而这显然是哈基猫（原文注1.2，即满足结合律的猫）。
对于大小为 3 的猫也只有这一种：
| \times |
e |
a |
b |
| e |
e |
a |
b |
| a |
a |
b |
e |
| b |
b |
e |
a |
这显然也是哈基猫。
什么，你问为什么 e 的分布不能是这样的：
| \times |
e |
a |
b |
| e |
e |
a |
b |
| a |
a |
e |
? |
| b |
b |
? |
e |
观察 a 那行，这样就会得到 a \times b = b，显然不行。
我们来考虑大小为 4 的猫。
先考虑这种 e 分布方式。
| \times |
e |
a |
b |
c |
| e |
e |
a |
b |
c |
| a |
a |
e |
? |
? |
| b |
b |
? |
e |
? |
| c |
c |
? |
? |
e |
根据性质 A 观察 a 行可得 a \times b \neq e，a \times b \neq a，观察 b 列可得 a \times b \neq b，即得 a \times b = c。
| \times |
e |
a |
b |
c |
| e |
e |
a |
b |
c |
| a |
a |
e |
c |
b |
| b |
b |
c |
e |
a |
| c |
c |
b |
a |
e |
然后这个运算是异或，所以这是哈基猫。
还有两种 e 的分布方式：
| \times |
e |
a |
b |
c |
| e |
e |
a |
b |
c |
| a |
a |
? |
? |
e |
| b |
b |
? |
e |
? |
| c |
c |
e |
? |
? |
| \times |
e |
a |
b |
c |
| e |
e |
a |
b |
c |
| a |
a |
e |
? |
? |
| b |
b |
? |
? |
e |
| c |
c |
? |
e |
? |
也可根据性质 A 唯一填出：
| \times |
e |
a |
b |
c |
| e |
e |
a |
b |
c |
| a |
a |
b |
c |
e |
| b |
b |
c |
e |
a |
| c |
c |
e |
a |
b |
| \times |
e |
a |
b |
c |
| e |
e |
a |
b |
c |
| a |
a |
e |
c |
b |
| b |
b |
c |
a |
e |
| c |
c |
b |
e |
a |
这分别是模 4 加法和 C=\lbrace 1,-1,i,-i \rbrace 与乘法，所以这两个也是哈基猫。
综上，所有大小 \leq 4 的猫都是哈基猫。