题解：P10640 BZOJ2356 不等式

· · 题解

应某只小可爱的要求写一篇题解。

由于题目给出的二元多项式是齐次的，我们可以设

F(t)=\sum_{i=0}^na_it^i

类似地设 G(t)，问题就转化为

x^nF(t) \geq A(x^m G(t))^r

其中 x,t 都是大于 0 的实数，可以任意取。

首先固定 t，考虑到左式量级为 \Theta(x^n)，右式为 \Theta(x^{mr})，在 x\to \infty 时我们要有 r \leq n/m；而 x\to 0 时 x 的指数越大，幂就越小，此时要有 r\geq n/m。综合一下，r 只能是 n/m。

注意 A 是可以取任意小的，所以我们只需要分析让右式的量级不大于左式即可。

现在再来考虑固定 x 而变化 t，判断下式是否成立:

F(t)\geq A\times G(t)^r

同样是分别分析 t\to \infty 和 t \to 0 的情况，就能解出来

\frac{\text{ord } F}{\text{ord } G}\leq r \leq \frac{\deg F}{\deg G}

其中 \text{ord } F 表示 F 的最低非零次项的次数，\deg F 表示 F 的最高非零次项的次数。

代码实现很简单，就不给了。