「EZEC-2」机器 Solution

· · 题解

upd：很抱歉最后一个式子打错了，现已修复。

首先容易发现性质：两个球经过 t 时间若在同一位置，当且仅当它们的瞬移次数模 2 同余。

那么枚举题目中选择的时刻（即二元组中的 j，为了方便这里记为 k），讨论两个球在同一位置时瞬移的次数：

\text{even}_k=\sum_{i=0}^k \binom kip^i(1-p)^{k-i}[i \bmod 2 = 0] \text{odd}_k =\sum_{i=0}^k \binom kip^i(1-p)^{k-i}[i \bmod 2 = 1]

算出的就是在 k 时刻瞬移次数分别为 奇数/偶数 的概率。
于是直接得到答案计算式：

\text{ans} = \frac{1}{2n} \frac{1}{t+1}\sum_{k=1}^{t+1} \text{even}_k^2+\text{odd}_k^2

（这里枚举从 1 \sim k+1 是因为，题目中的零时刻也可以瞬移，而这里的 k 实际上是瞬移次数上限）

注意到上面两个式子很像二项式展开，考虑拆 [i \bmod 2 = 0] 为 (1+(-1)^i)/2：

\text{even}_k= \sum_{i=0}^k \binom kip^i(1-p)^{k-i}[2|i] = \frac 12\sum_{i=0}^k \binom ki p^i(1-p)^{k-i}(1+(-1)^i) = \frac 12\left( \sum_{i=0}^k \binom kip^i(1-p)^{k-i}+\sum_{i=0}^k\binom ki(-p)^i(1-p)^{k-i} \right) = \frac 12(1+(1-2p)^k)

类似地也能得到

\text{odd}_k= \frac 12(1-(1-2p)^k)

把平方展开，答案就很明显了：

\text{ans} = \frac{1}{2n}\frac{1}{t+1}\sum_{k=1}^{t+1} \frac{1+(1-2p)^{2k}}{2}

等比数列求和即可，时间复杂度 \Theta(\log n + \log t)。