论计算器在上海数学中的用途
chen_zhe
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个人记录
众所周知，在二期课改之后，计算器可以带入上海高考考场。尽管不能使用绘图、函数等功能，但是它还是很有用的。以下列解题为例。
【例题 1】若定义在函数 \N 上的函数 f(x),g(x) 满足：存在 x_0 \in \N，使得 f(x_0)<g(x_0) 成立，则称 f(x) 与 g(x) 在 \N 上具有性质 P(f,g)。设函数 f(x)=\dfrac{a^x-1}{2} 与 g(x)=x^3，其中 a>0。已知 f(x) 与 g(x) 在 \N 上不具有性质 P(f,g)，将 a 的最小值记为 a_0。设有穷数列 \{b_n\} 满足 b_1=1,b_{n+1}=1+b_n,(n \in \N^*,n \leq 504 \times [a_0])，这里的 [a_0] 表示不超过 a_0 的最大整数。若去掉 \{b_n\} 中的一项 b_i 后，剩下的所有项之和恰可表示为 m^2,(m \in \N^*)，则 b_i+m 的值为？
【解析】这是什么巨型缝合怪……不过这种缝合题思路就很直接，一步一步来即可。
首先考虑 f(x) 与 g(x) 在 \N 上不具有性质 P(f,g)，即 f(x)>g(x) 在 \N 上恒成立，即有 \dfrac{a^x-1}{2} \geq x^3 在 \N 上恒成立。
因为上海不学导数。因此打开计算器，用 TABLE 功能代入几个 a，就会发现 a_0=\sqrt{17}，则 [a_0]=4，即 n \leq 2016。即这是一个有 2017 项的数列。
然后求出 \sum b_i=2035153，[\sqrt{\sum b_i}]=1426=m，而 1426^2=2033476。则去掉的 b_i=2035153-2033476=1677。最后的结果就是 3103。
【例题 2】设函数 f(x)=\dfrac{a-x^\dfrac{3}{2}-8x^\dfrac{1}{2}}{x+8}，设函数 y=4f(x)+5 的零点为 4，则使得 8f(n^2-3)+63 \geq 0 成立的整数 n 的个数为？
【解析】依旧缝合怪。
代入后面的式子，$8 \times \dfrac{9-x^\dfrac{3}{2}-8x^\dfrac{1}{2}}{x+8}+63 \geq 0$。
$f(x)$ 要分离出来还算是比较麻烦的。考虑用 TABLE 代入值算一下，会发现 $f(x)$ 是单调递减的。这样只要代入 $f(x)=-\dfrac{63}{8}$ 即可求出答案，可得 $x=64$，即 $0 \leq n^2-3 \leq 64$，显然有 $14$ 个解。
【例题 3】在平面直角坐标系中，角 $\theta(\pi<\theta<\dfrac{3\pi}{2})$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过函数 $f(x)=-2^x$ 与 $g(x)=-\log_{\dfrac{1}{2}}(-x)$ 的交点。角 $\alpha \in (0,\dfrac{\pi}{4})$，则（）
A. $-1<\cot(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
B. -1<\tan(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
C. -1<\cos(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
D. -1<\sin(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
【解析】那就先把交点求出来咯。-2^x=-\log_\dfrac{1}{2}(-x)，这好像是个超越方程，用计算器求一下数值解，交点 (-0.641185744,-0.641185744)。很明显 \tan \theta=1，\theta=\dfrac{5\pi}{4}。\theta+\alpha \in (\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2})。显然发现 D 是正解。
【例题 4】（建议改名：相信自我）
团队在 O 点西侧、东侧 20 千米处设有 A,B 两点，测量距离发现一点 P 满足 |PA|-|PB|=20 千米，可知 P 在 A,B 为焦点的双曲线上。以 O 点为原点，东侧为 x 轴正半轴，北侧为 y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东 60^\circ 处。求双曲线标准方程。
团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 C,D 两站点，测量发现 |QA|-|QB|=30 千米，|QC|-|QD|=10 千米，求 |OQ| 和 Q 点位置。
【解析】其实这题很简单，问题在于答案是什么阴间玩意。
(1) a=10,c=20，可得 b^2=300，双曲线方程 C_1: \dfrac{x^2}{100}-\dfrac{y^2}{300}=1。
与 OP:y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x 联立，可得 P(\dfrac{15\sqrt{2}}{2},\dfrac{5\sqrt{6}}{2})。
(2) |QA|-|QB|=30,a=15,c=20，可得 b^2=175，双曲线方程 C_2:\dfrac{x^2}{225}-\dfrac{y^2}{175}=1。
两根双曲线联立，可得 $Q(\sqrt{\dfrac{14400}{47}},\sqrt{\dfrac{2975}{47}})$，$OQ=19227$ 米（网传答案有误），位于原点的北偏东 $66^\circ$。
【例题 5】（建议改名：相信自我 II）
在三角形 ABC 中，已知 $a=3,b=2c$；
(1) 若 $\angle A=\dfrac{2\pi}{3}$，求 $S_\triangle ABC$；
(2) 若 $2\sin B-\sin C=1$，求 $C_\triangle ABC$。
【解析】一个普通的三角题能把数字搞的这么恶心，也是难为出题人了。
(1) $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\dfrac{(2c)^2+c^2-3^2}{2\times 2c \times c}=-\dfrac{1}{2}
$S_\triangle ABC=\dfrac{1}{2}bc \sin A=\dfrac{1}{2} \times 2c^2 \times \sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{9\sqrt{3}}{14}$。
这个答案已经很重量级了。第二小问答案上升到了新的境界。
(2) $b=2c$，$\sin B=2\sin C$，$2 \times 2\sin C-\sin C=1$，$\sin C=\dfrac{1}{3}$，$\sin B=\dfrac{2}{3}$。
$\sin A=\sin (B+C)=\sin B \cos C+\sin C \cos B=\dfrac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{5}}{9}$。这一步很关键，用计算器只能算得数值解。可能出题人特意希望我们掌握两角和差公式。
$c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{4\sqrt{2}\pm\sqrt{5}}{3}$。
接下来代入即可，得到周长为 $3+4\sqrt{2} \pm \sqrt{5}$。
【例题 6】留作欣赏。
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总结：计算器常常可以帮助你解一些方程，或者看出函数单调性等。但是具体计算内容，按照上海高考的逐步深化课改，可能不会让你蠢蠢的用计算器按，自己的计算也是很重要的。而且按照上海的特色，应用题会越来越贴近实际，数值可能也就不会凑那么规整，也就会得出奇奇怪怪的答案。需要相信自己的 casio 没有问题。