高数笔记 1.函数

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1.非正式定义

我们在初中阶段就有接触过“函数”的概念，不妨回顾一下初二教科书的定义：

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

那么这样的定义是否是严谨的呢？或者说，是否是正确的？我们来思考这样一个函数：

y=\frac{1}{x}

根据上述定义，我们不妨令x=0，则y=\frac{1}{0}，这样的结果显然是未定义的，不满足 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。

因此，我们便得出，y=\frac{1}{x}不是一个函数。

不过显然，这样的结论是完全错误的。我们在初中阶段也了解过，上述函数是一个反比例函数。那么看来，我们需要对 每一个确定的值 进行更严谨的定义。

2.另一种定义

考虑到上述定义的不严谨，微积分创始人牛顿、莱布尼茨给出了另一种定义。

从集合X到集合Y的函数f是一种对应关系，它将X中的每一个元素与Y中的一个元素相匹配。集合X被称为函数f的定义域，而集合Y被称为函数的陪域。

如果函数f将集合Y中的元素y与集合X中的元素x相匹配，我们说函数f把x映射到y，通常记作y=f(x)。

通常，函数f、定义域X与陪域Y通常用如下记号表示：f:X \to Y。

我们还是以y=\frac{1}{x}为例来理解定义。我们知道，为了使\frac{1}{x}存在，必须满足x \neq 0。也就是说，对于任意x \neq 0，都能使其存在。x可以是114514，1919810，0x3f3f3f3f，10^9 + 7，……。我们将所有能使其存在的数放在一个集合里，这样的一个集合就是函数y=\frac{1}{x}的定义域。

至于陪域，它是一个集合，满足一定包含所有的函数值。一般来说，陪域是我们自己定义的，用于限定函数的输出范围，同时也能决定我们定义的关系是否是一个函数。比如考虑到关系f(x) = \pm \sqrt{x}，如果我们的陪域是实数集\mathbb{R}，那么它就不是一个函数，因为对于任意x \in X，都能在陪域中找到两个y与之对应。比如f(9) = 3或f(9) = -3。但是如果我们定义陪域为非负实数集\mathbb{R}_{\geq 0}，那么它就是一个函数。

最后说一下f，它的功能类似C++中的哈希。我们任意输入一个定义域中的数，它都能在陪域中找到一个唯一的值。此处的f可以随意替换，但尽量避免与常见的函数冲突。

3. (进阶) 函数的公理化表达

我们刚才的定义并没有说明什么是匹配，函数的第一个严谨定义是基于集合论的，提出于19世纪末。

一个函数由三个集合组成，定义域X，陪域Y和图R，它们满足以下条件：

  • {\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}
  • {\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }
  • {\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }

资料来源：

  1. 高等数学（第八版，同济大学数学科学院）
  2. Thomas' Calculus (Fourteenth Edition in Si Units)
  3. Wikipedia: Function (mathematics)