猫论

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作者：OIer_FightForOI
更新时间：2026 年 2 月 12 日
类型：算法·理论【休闲·娱乐】
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由于这是【休闲·娱乐】，还请大家当乐子看。

猫论（Chat Theory）

0. 序

猫论并非群论之推广，亦非环域之变体。它起源于2026年嗏忒·基媲悌在拓扑斯理论黎明前夕对一类反常运算结构的捕捉。这类结构既不满足结合律，也不完全放弃消去律，其单位元存在但不居中，其逆元唯一但反演不保序。狄噗·涩坷将其命名为“Chat”，因其如猫般既不可完全驯服，亦非全然野性。本文旨在以当代公理化语言重建猫论之基础。

1. 定义

定义1.1 设 C 为为非空集合，其上定义二元运算 \times：C \times C \to C。称二元组 \beta = (C,\times) 为一个猫，当且仅当：

  1. 封闭性：对于所有 a,b \in C, a \times b \in C。
  2. 左消去性：对于所有 a,b,c \in C 若 a \times b = a \times c 则 b=c。
  3. 左消去性：对于所有 a,b,c \in C 若 b \times a = c \times a 则 b=c。
  4. 在 C 中，存在单位元 e
  5. 逆元唯一性：对于所有 a \in C，存在唯一逆元 a^{-1}，a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e
  6. 非结合性：存在 a,b,c \in C, (a \times b) \times c \ne a \times (b \times c)

注1.2 猫不同于群之处在于结合律缺失。群是猫的真子类，称为哈基猫（Haji Chat），其非结合性公理不成立。

定义1.3 猫的约（Yue）记作 |\beta|，即集合 |C| 的基数。猫的约猫（Subchat）指子集 H \subseteq C 满足：

2. 不完整结构

定义2.1 设 H 为非空集合，其上定义二元运算 *：H * H \to H 封闭，满足左消去律和右消去律，但未必存在单位元。此时称 (H,*) 为一个 半猫 （Hemichat）

定义2.2 半猫的约即 |H|。半猫的约半猫（Subhemichat）指子集 K \subseteq H满足：

注2.3 空集依定义不是半猫，因其非空；但空集是约半猫的容许子集，称为虚半猫，其在范畴论中作为始对象出现。

定理2.4（粮化定理） 任意半猫 H 均可唯一地嵌入一个猫 \beta 中，使得 \beta \setminus \left\{e\right\} = H 且运算在 H 上保持不变。此猫称为 H 的粮化（Chatification），记作 \overline H，后简称为猫粮。粮化过程破坏右消去律当且仅当 H 中存在非平凡幂等元。

证明2.5 形式添加单位元 e，定义 e*e=e，e*h=h*e=h 对任意 h \in H，其余运算继承。右消去律在 e 处序验证，若 h*e=h'*e 则 h=h'，成立。但若 h*h_1=h*h_2且 h \in H，仍需原半猫消去律保证。反例见于二色半猫。

例2.6（三色猫） 令 T=(\left\{e,a,b\right\},\times)，运算表如下：

\times e a b
e e a b
a a e b
b b a e

直接验证：

故 T 是猫，其约为 3。其约猫为 \left\{e\right\},\left\{e,a\right\},\left\{e,b\right\},T 自身。

例2.7（二色半猫） 取 H=\left\{a,b\right\} 且运算定义为：

* a b
a a b
b a b

左消去： 若 a*x=a*y 则 x=y，成立；右消去：若 x*a=y*a 则 x=y 成立。无单位元。其为半猫，约为2。

其约半猫为 \left\{a\right\},\left\{b\right\}, 空集。 \left\{a\right\} 是半猫（运算 a*a=a）， \left\{b\right\} 亦同。二色半猫的粮化为三色猫。

定义2.8 若半猫 (H,*) 满足交换率，即对于所有 a,b \in H,a*b=b*a，此时称 H 为交换半猫（Abel 半猫）

定义2.9 若猫 (H,\times) 满足交换律，则称 H 为交换猫（Abel 猫）

定义2.10 对于非空集合 F 和其上的两个二元运算 \times:F\times F\rightarrow F 和 *:F* F\rightarrow F，如果它们满足以下性质，则称 (F,\times,*) 是一个 喵（mew）：

定理2.11（颗喵定理） 设 (F,\times,*) 是一个喵，则存在唯一确定的 Abel 猫 (F,\oplus) 与 Abel 半猫 (F,\otimes)，使得：

此时称 (F,\oplus,\otimes) 为 (F,\times,*) 的颗喵化，记作 \widetilde{F}。

证明2.12 由粮化定理得，Abel半猫 (F,\times) 的粮化存在唯一，记作 (F,\oplus)，其单位元为 0。Abel猫 (F,*) 自身已是猫，其粮化为自身，记作 (F,\otimes)，单位元为 1。分配律的验证需构造映射 \psi: F^3 \to F 如下：

\psi(a,b,c) = [(a \times b) * c] \ominus [(a * c) \times (b * c)]

其中 \ominus 为 (F,\oplus) 中的减法运算。由喵定义中 (F,\times) 的交换性与 (F,*) 的交换性，经直接计算可得 \psi \equiv 0，故分配律成立。唯一性由粮化定理保证。

定义2.13 设 (F,\times,*) 是一个喵。若 \oplus 与 \otimes 进一步满足右分配律：

\forall a,b,c \in F,\ a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)

则称 (F,\times,*) 为正经喵。否则称为野喵。

定理2.14 野喵存在且其颗喵化中 \oplus 与 \otimes 不满足交换律。

证明2.15 构造反例。取 F = \{0,1,a,b\}，定义 \times 为二色半猫的 Abel 化（即 a \times a = a,\ a \times b = b,\ b \times a = a,\ b \times b = b，并添加单位元 0 满足 0 \times x = x \times 0 = x，1 视为普通元素暂不参与 \times 运算），定义 * 为三色猫的 Abel 化（即 a * a = 0,\ a * b = b,\ b * a = a,\ b * b = 0，1 * 1 = 1，1 与各元素运算均得另一元素）。直接计算可得 (a \oplus b) \otimes c \neq (a \otimes c) \oplus (b \otimes c) 对某组取值成立，故为野喵。进一步计算可得 \oplus 与 \otimes 在该构造下不交换。

定义2.16 喵的约定义为 |F|。喵的约喵指子集 M \subseteq F 满足：

  3. 颗喵分配律在 M 上成立。

定义2.17 若 M \subseteq F 仅满足定义2.14中(1)(2)而不满足(3)，则称 M 为 (F,\times,*) 的半喵。

命题2.18 半喵不必是喵。事实上，存在喵的半喵不是喵。

证明2.19 考虑三色猫与二色半猫构造的喵（具体构造见例2.17），取子集 \{0,a\} 验证即得。

例2.20（三色喵） 设 F = \{0,1,a,b\}，定义 \times 如下（Abel半猫结构）：

\times 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b a b
b b a a b

定义 * 如下（Abel猫结构，同构于三色猫添加单位元1）：

\times 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0

直接验证 (F,\times,*) 是喵，称为三色喵。其约为4，约喵有 \{0,1\}、\{0,1,a,b\} 等，半喵有 \{0,a\}、\{0,b\} 等。

定义2.21 设 (F,\times,*) 与 (G,\times',*') 为喵。映射 \phi: F \to G 称为喵态射，若：

命题2.22 喵与喵态射构成范畴，记作 \mathbf{Mew}。

定理2.23（自由喵构造） 遗忘函子 U: \mathbf{Mew} \to \mathbf{Hemichat} \times \mathbf{Chat} 存在左伴随 F。即对任意半猫 H 与猫 C，存在自由喵 F(H,C) 及其上的喵态射 \eta: (H,C) \to U(F(H,C)) 满足泛性质。

证明2.24 取生成元集 H \times C，考虑所有形式表达式在以下等价关系下的商：

验证此商结构满足喵定义，且具有所需泛性质。细节从略。

3. 旮旯指数与哈基米南北定理

定义3.1 设 \mathcal{E} = (C,\times,e) 为有限猫。定义其旮旯指数 Gam(\mathcal{E}) 为：

Gam(\mathcal{E}) = \frac{\#\{(x,y) \in C^2 \mid x \times y = y \times x\}}{|C|^2}

即交换对所占比例。

定理3.2（哈基米南北定理） 设 \mathcal{E} 为有限猫。若 \mathcal{E} 不是群，则 Gam(\mathcal{E}) \le \frac{1}{2} 或 Gam(\mathcal{E}) = \frac{5}{9}。特别地，不存在有限猫 \mathcal{E} 使 Gam(\mathcal{E}) \in (\frac{1}{2},\frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9},1)。

证明3.3 该定理证明分为三步。

第一步（Borel，1919810）：证明若 \mathcal{E} 非群且 Gam(\mathcal{E}) > \frac{1}{2}，则 \mathcal{E} 必同构于三色猫或其约猫。此步使用图论方法：构造非交换图 G，顶点集 C，边 (x,y) 当 x \times y \neq y \times x。由 \Gamma > 1/2 知边数 < |C|^2/2，应用 Turán 定理的推广形式可得 G 为完全二部图 K_{1,n} 或 K_{2,m}，逐类验证运算表即得结论。

第二步（氟·飨豩，-2050）：计算三色猫的旮旯指数为 5/9，且证明三色猫的任何非平凡约猫的旮旯指数均 \le 1/2。

第三步（旮旯给木研究会，114514）：对约 \le 12 的所有有限猫进行计算机搜索，确认无其他反例。由有限猫的结构定理，所有有限猫均可由群、三色猫及其直积、半直积的有限次构造得到，而此类构造不产生旮旯指数在 1/2 与 5/9 之间或 5/9 与 1 之间的新猫。

推论3.4 群的旮旯指数恒为 1。三色猫是唯一旮旯指数大于 1/2 的非群有限猫。

定义3.5 设 \mathcal{C} 为有限猫。定义其哈基米南北指标 \operatorname{CCF}(\mathcal{C}) 为：

\operatorname{CCF}(\mathcal{C}) = \frac{\#\{x \in C \mid x \times x = e\}}{|C|}

即对合元素所占比例。

定理3.6（南北分界线定理） 设 \mathcal{C} 为有限猫。若 \operatorname{CCF}(\mathcal{C}) > \frac{2}{3}，则 \mathcal{C} 是群。

证明3.7 考虑共轭作用 \mathcal{C} 在自身上的作用 x \mapsto y \times x \times y^{-1}。由猫公理可验证此作用构成置换表示。对合元素在该作用下的轨道长度不超过 2。设对合元素集合为 I，单位元 e \in I。若 |I|/|C| > 2/3，则非对合元素少于 1/3。每个非对合元素的轨道长度至少为 3（因其不是对合且不为单位元），由轨道计数公式可得矛盾，除非所有非对合元素不存在，即 \mathcal{C} 中每元素均为对合。此时可证结合律成立，故为群（所有元素二阶的群是 Abel 群）。

定义3.8 设 \mathcal{C} 为有限猫。定义其结合度 \operatorname{Hyw}(\mathcal{C}) 为：

\operatorname{Hyw}(\mathcal{C}) = \frac{\#\{(x,y,z) \in C^3 \mid (x \times y) \times z = x \times (y \times z)\}}{|C|^3}

定理3.9 对任何有限猫 \mathcal{E}，有 \operatorname{Hyw}(\mathcal{E}) \ge Gam(\mathcal{E})。等号成立当且仅当 \mathcal{E} 是群或三色猫。

证明3.10 由非交换对必产生非结合三元组这一观察，经计数可得不等式。等号情形的分类需细致分析运算表结构，此处从略。

定理3.11（猫论基本不等式） 设 \mathcal{E} 为有限猫，|\mathcal{E}| = n。则：

Gam(\mathcal{E}) \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}

且等号成立当且仅当 \mathcal{E} 同构于三色猫。

证明3.12 对非交换对图应用 Turán 定理，最大边数为 \lfloor n^2/4 \rfloor，故非交换对比例 \le 1/2 - 1/(2n)，从而交换对比例 \ge 1/2 + 1/(2n)。等号成立条件为图是完全二部图且运算表满足猫公理，唯一解为三色猫。