题解 P4582 【[FJOI2014]树的重心】

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FJOI2014 树的重心

数据范围：$1\le Q\le 50$，$1\le n\le 200$。

就是要写好几个 \tt dp 吧，细节比较多。

先 \tt Dfs 一次找个重心：

int sz[N+7],g[N+7];
int Dfs1(int u,int fa){
    int res=inf;
    sz[u]=1,g[u]=0;
    for(int&v:e[u])if(v!=fa){
        res=min(res,Dfs1(v,u));
        sz[u]+=sz[v],g[u]=max(g[u],sz[v]);
    }
    g[u]=max(g[u],n-sz[u]);
    res=min(res,g[u]);
    return res;
}
//...
int ms=Dfs1(1,0);
vector<int> G;
for(int i=1;i<=n;i++)if(g[i]==ms) G.pb(i);

重心只有 1 个或 2 个，于是分类讨论 。

设重心为 Gx 和 Gy。

所以必然有边 (Gx,Gy)。

把 (Gx,Gy) 断开后两部分子树必然是相等的（要不然就只有 1 个重心）。

所以可以在两部分子树以 Gx,Gy 为根各写个 \tt dp：

f_{u,i} 表示 u 点的子树选 i 个点的联通子树（包括 u 点）的方案数。

f_{u,i}=\sum_{v\in son_u}\sum_{j=1}^{\min(i-1,sz_v)}f_{u,i-j}\cdot f_{v,j}

然后 Ans=\sum_{i=1}^{\min(sz_{Gx},sz_{Gy})}f_{Gx,i}\cdot f_{Gy,i}。

不过写两次树形 \tt dp 麻烦，我的代码中省了个树形 \tt dp。

设重心为 G。

所以选出子树中 G 点的每个子树大小 \le 所有子树大小之和的 \frac 12。

所以可以先如上跑个 \tt dp，以 G 为根得出同上的 f_{i,j}。

F_{i,j} 选出子树共 i 个点（除了 G），最大子树大小为 j 的方案数。

所以初始化 F_{i,i}=\sum_{v\in son_G}f_{v,i}。

{\rm Then}\forall k\in[1,i]:F_{i,\max(j,k)}+=F_{i-j,k}\cdot f_{v,j}

最后 Ans=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[2j\le i]F_{i,j}。

为什么要 +1？表示只选 G 点的情况。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=200,P=1e4+7;
int n;
vector<int> e[N+7];

//Treedp
int sz[N+7],g[N+7],f[N+7][N+7];
int Dfs1(int u,int fa){
    int res=inf;
    sz[u]=1,g[u]=0;
    for(int&v:e[u])if(v!=fa){
        res=min(res,Dfs1(v,u));
        sz[u]+=sz[v],g[u]=max(g[u],sz[v]);
    }
    g[u]=max(g[u],n-sz[u]);
    res=min(res,g[u]);
    return res;
}
void Dfs2(int u,int fa){
    sz[u]=f[u][0]=f[u][1]=1;
    for(int&v:e[u])if(v!=fa){
        Dfs2(v,u),sz[u]+=sz[v];
        for(int i=sz[u];i>=1;i--)
            for(int j=1;j<=min(sz[v],i-1);j++)
                (f[u][i]+=f[u][i-j]*f[v][j]%P)%=P;          
    }
}

//KonnyWen
int F1[N+7][N+7],F2[N+7];
int KonnyWen(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) e[i].clear();
    for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e[u].pb(v),e[v].pb(u);
    }
    int ms=Dfs1(1,0);
    vector<int> G;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(g[i]==ms) G.pb(i);
//  puts("G:");
//  for(int&x:G) printf("%d ",x);puts("");
    memset(f,0,sizeof f),Dfs2(G[0],0);
//  puts("f:");
//  for(int i=1;i<=n;i++)
//      for(int j=1;j<=n;j++)
//          printf("%d%c",f[i][j],"\n "[j<n]);
    int sm=0,res=0; 
    if(sz(G)==1){
        memset(F1,0,sizeof F1),ms=-inf;
        for(int&v:e[G[0]]){
            ms=max(ms,sz[v]),sm+=sz[v];
            for(int i=sm;i>=1;i--)
                for(int j=min(sz[v],i);j>=1;j--){
                    if(j==i) (F1[i][j]+=f[v][j])%=P;
                    else for(int k=1;k<=min(i,ms);k++)
                        (F1[i][max(j,k)]+=F1[i-j][k]*f[v][j]%P)%=P;
                }
        }
//      puts("F1:");
//      for(int i=1;i<=n;i++)
//          for(int j=1;j<=n;j++)
//              printf("%d%c",F1[i][j],"\n "[j<n]);
        for(int i=1;i<=sm;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                if(j*2<=i) (res+=F1[i][j])%=P;
        res++;
    } else if(sz(G)==2){ //一次树形 dp 代替两次
        memset(F2,0,sizeof F2),F2[0]=1;
        for(int&v:e[G[0]])if(v!=G[1]){
            sm+=sz[v];
            for(int i=sm;i>=1;i--)
                for(int j=1;j<=min(sz[v],i);j++)
                    (F2[i]+=F2[i-j]*f[v][j]%P)%=P;
        }
//      puts("F2:");
//      for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",F2[i]);puts("");
        for(int i=1;i<=sm+1;i++)
            (res+=F2[i-1]*f[G[1]][i]%P)%=P;
    }
    return res; 
}

//Main
int main(){
    int t; scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++) 
        printf("Case %d: %d\n",i,KonnyWen());
    return 0;
}

祝大家学习愉快！