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· · 题解

初三菜鸡前来报到

最近学校数学学到第二章《一元二次方程》，刚从讨论区里发现这题，切掉之后索性来写篇题解，讲一下一元二次方程的相关内容，顺便复习一下whk。

如果不过审的话就当做中考复习资料了

一、一元二次方程的定义

一个整式方程经过整理后，如果只含 1 个未知数，且未知数最高项的次数是 2，则称这个方程是一元二次方程。

其中，整式方程指的是等号两边都是关于未知数的整式的方程。

一般地，定义一元二次方程的一般形式为：

ax^2+bx+c=0(a \not= 0)

在上面的式子中，a,b,c 分别被称作这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

举几个反面教材：

没有规定 a \not= 0（注意，b,c 是可以等于 0 的）。

判断是否为一元二次方程应先整理原方程变为一般形式。

原方程的一般形式是 -2x+3=0，二次项系数为 0。

等号左边不是一个整式。

二、一元二次方程的解法

需要明确的是，一元二次方程可能无实数根（不是无解）。

（一）配方法

前置知识：完全平方公式，即 (a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2。

配方法用举例来理解比较好。

把常数项拆开，使原方程更容易配方：

x^2-6x+9-6=0

移项：

x^2-6x+9=6

把等式左边的式子配方：

(x-3)^2=6

直接开平方：

x-3= \pm \sqrt{6}

移项，得到原方程的解：

x_1=3+\sqrt{6},x_2=3-\sqrt{6}

在配方法中，将等号左边的式子配成完全平方式后，如果右边的数小于 0，那么就可以判定原方程无实数根。

原因很简单，直接开平方时会给等号右边套一层根号，开根号的值必须不小于 0。

（二）公式法

公式法可以理解为从配方法加以总结得到的。

考虑从一元二次方程的一般形式下手：

首先将原方程等号两边同除以 a，得：

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0

配方：

x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{c}{a}-(\dfrac{b}{2a})^2=0 (x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=0

移项并开平方：

(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} x+\dfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}} x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

移项，得到原方程的两根：

x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

不难发现原方程有实数根的充要条件是 b^2-4ac \ge 0，

于是，人们记 \Delta=b^2-4ac，并把 \Delta 称为一元二次方程的判别式，用以判断方程是否有实数根。

所以，可以得到一元二次方程的求根公式：

x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

其中，\Delta=b^2-4ac。

一个一元二次方程有实数根，当且仅当 \Delta=b^2-4ac\ge 0。

由此，容易得到一元二次方程实数根数量的判断方法：

（三）十字相乘法

前置知识：因式分解

对于二次三项式 mx^2+rx+n(m,n,r \in \text{N})，若存在 a,b,c,d \in \text{N}，使得 ad+bc=r，则原式可以写作 (ax+c)(bx+d)。

举个例子：

\begin{aligned}& 2x^2-7x+5 \\ & = 2x \times x-2x-5x+(-5)\times(-1) \\ & = (x-1)(2x-5)\end{aligned}

注意，并不是每一个二次三项式都可以十字相乘。

回到正题，对于一元二次方程 ax^2+bx+c=0(a \not= 0)，若其可以因式分解为：

(mx+n)(rx+k)=0

因为若 pq=0，则 p=0 或 q=0，所以容易得到原方程的两根：

x_1= - \dfrac{n}{m},x_2= -\dfrac{k}{r}

值得一提的是，如果原方程无实数解，那么它一定无法十字相乘。

关于本题

终于扯到正题上了

再看一眼题，免得忘了要干啥。

题目中只给出了一元二次方程的三个系数，所以直接代求根公式即可。

平时解一元二次方程的时候要注意判无实数根，但本题中不需要，因为题面保证了方程有实数根。

记得开 double，代码就不贴了罢

希望能帮到没学过一元二次方程的小朋友。