题解：P2019 四平方和定理

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太长不看版：答案为 8\sum\limits_{d\mid n,4\nmid d}d，这个结论你找规律也可以得到。

由于证明过于复杂，这里只简单提一下，不过确实想学模形式了。

设 f(n,k) 表示将 n 拆成 k 个整数的平方和的方案数，有：

f(n,k+l)=\sum_{i=0}^nf(i,k)f(n-i,l)

构造母函数 \theta_k(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}f(n,k)\text{e}^{2\pi\text{i}nx}，可得 \theta_{k+l}(x)=\theta_k(x)\theta_l(x)，因此 \theta_k(x)=\theta_1^n(x)。

枚举平方数，有 \theta_1(x)=\sum\limits_{d\in\mathbb Z}\text{e}^{2\pi\text{i}d^2x}，由 Poisson 求和：

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\bar f(x)=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\prime g(l)

其中 \bar f(x) 表示 \dfrac12\left(\lim\limits_{t\rightarrow x^+}f(t)+\lim\limits_{t\rightarrow x^-}f(t)\right)，\sum\prime 表示级数取主值，g 定义如下：

g(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)\text{e}^{-2\pi\text{i}nx}

可以得到：

\theta_1\left(-\dfrac{1}{4x}\right)=\sqrt{-2\text{i}x}\theta(x)

再由 \theta_4(x)=\theta_1^4(x) 可得：

\theta_4\left(\dfrac{x}{1+4x}\right)=(1+4x)^2\theta_4(x)

同时 \theta_4(x) 具有周期 1，且其在上半平面 \mathbb H 和无穷远处全纯，即 \theta_4 是群 \Gamma=\left\langle\left[\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}1&0\\4&1\end{matrix}\right]\right\rangle 的权为 2 的模形式，记满足条件的函数的集合为 \mathcal M_2(\Gamma)，其为一复向量空间，其维度为 2，其一组基为：

\begin{aligned} G_{2,2}(x)&=-\dfrac{\pi^2}{3}\left(1+24\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{d\mid n,2\nmid d}d\text{e}^{2\pi\text{i}nx}\right)\\ G_{2,4}(x)&=-\pi^2\left(1+8\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{d\mid n,4\nmid d}d\text{e}^{2\pi\text{i}nx}\right) \end{aligned}

那么有：

\theta_4(x)=aG_{2,2}(x)+bG_{2,4}(x)

比较系数可得 a=0,b=-\dfrac{1}{\pi^2}，故 \theta_4(x)=1+8\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{d\mid n,4\nmid d}d\text{e}^{2\pi\text{i}nx}，故 f(n,4)=8\sum\limits_{d\mid n,4\nmid d}d。

上面的推导通过模形式将原问题转化成了求解复向量空间的一组基，可以拓展到 f(n,k) 的情况，不过寻找这组基又是另外一回事了。