上提的第二步和第五步，如果 m-a<a，则只需要移动 m-a 个元素，然后交换一下 N 和 H 的作用即可。
加上这些优化，70 分到手。考虑正解。
考虑一个对两个栈的操作：给定栈 X,Y，重排两个栈的元素使得 \operatorname{max}\{X\}\leq \operatorname{min}\{Y\}。其中，\operatorname{max} 和 \operatorname{min} 都是针对颜色编号而言的。这个操作也需要借助另一个满栈 H 和一个空栈 N。注意到同一种颜色可能有很多球，不便于操作，我们可以把所有元素分成“大的一半”和“小的一半”，分别应该装进 Y 和 X 里。以下我们用“元素为大”、“元素为小”称呼。
数一下 X 中共有多少个元素为大，这个数字记为 a。
把 H 栈顶 a 个元素依次放入 N。操作后 H 有 a 个空位，N 有 m-a 个空位。
一直弹出 X 的栈顶元素，如果为大则放入 H，否则放入 N，直到 X 为空。这时 H 和 N 都恰好满了。
把 N 栈顶 m-a 个元素依次放入 X。
一直弹出 Y 的栈顶元素，如果为大则放入 N，否则放入 X，直到 Y 为空。这时 N 和 X 都恰好满了。
把 N 栈顶 m-a 个元素依次放入 Y，把 H 栈顶 a 个元素依次放入 Y。
把 N 全部 a 个元素依次放入 H。操作后 H 和 N 恢复了操作前的原样。
为了方便下文管这个操作叫“切分”，意思当然是把小的一半切出来。操作结束时，X 所有元素为小，Y 所有元素为大。这就达成了我们的目的。这个操作的步数是 4m+a\leq 5m。可以使用类似上面第三条常数优化，如果 m-a<a，则第一步和第七步只需要移动 m-a 个元素，然后交换 H 和 N 的作用即可。优化后移动次数不超过 \frac{9}{2}m。
有了这个操作，我们可以使用类似冒泡排序的方式把整个 n 个栈按照颜色排序，排序之后很显然每个栈里球颜色一样。排序的正确性参照冒泡排序很容易证明（最大的元素一定会冒到最右边），可以算出移动步数 \frac{9}{4}n(n-1)m，渐进复杂度相同的情况下常数比上面那个算法大了一倍多，只能过 40 分，看起来根本没用……
尝试换一种排序：归并排序。要解决的问题就是如何归并。类似普通归并的过程，维护两个指针 x 和 y，初始值在要归并的两个区间最左侧。把两个指针指向的栈分别称为 X,Y。如果 \operatorname{max}\{X\}<\operatorname{max}\{Y\}，对 X,Y 执行切分，小的一半放到 X，然后把指针 x 递增，继续执行。否则把小的一半放在 Y，指针 y 递增。这样做是正确的，因为未归并区间最小的 m 个元素一定包含在了 X 和 Y 里。最后我们可以得到一系列从小到大的栈，不过它们并没有摆在它们应该在的位置上。于是归并的过程中记录一下每个栈应该在的位置，利用那个空栈进行整体移动，可以使用不超过 2L 次整体移动把它们摆好（L 是归并的区间长度）。于是，要归并一个长度为 L 的区间，要执行不超过 L 次切分和不超过 2L 次整体移动，总操作次数不超过 \frac{13}{2}Lm。