题解 P2070 【刷墙】

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前言

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这道题目，n<=10^5，显然在暗示我们使用n \log n的做法，我就是用了一个简单的贪心，通过了此题。

正文

在这道题中，我们发现，可以把 Bessie 每次走的路看成是对序列的一段区间染色。

for(int i=1;i<=n;i++){
    int x;char y;
    read(x);cin>>y;
    a[i].l=position;
    if(y=='L')position-=x;//Bessie往左走
    else position+=x;//Bessie往右走
    a[i].r=position;
    if(a[i].l>a[i].r)swap(a[i].l,a[i].r);
}

这里的 a数组是一个结构体——node

const int MAXN=1e5+10;
struct node{
    int l,r;//每次染色的左端点和右端点
    bool operator<(const node&b)const{
        return l<b.l;//按左端点从小到大排序
    }
}a[MAXN];

之后，我们就要说真正的思路了，我们对于 a 序列排序后，会有这样一个画面。

我们定义两个变量——lft和rgt，记录可能区间的左端点和右端点。

这里面我们记录的是有可能和下面相交的区间，什么意思？比如那张图，我们标一下号

当我么扫描第 1 个区间时，我们发现，之后有可能被覆盖到的区间是 lft=0,rgt=15。

当我们继续扫描，到第 2 个区间时，我们发现，之后可能被覆盖到的区间是 lft=15,rgt=18。

可能有人会问，5~15 这段消失，我们还能理解，但是为什么 0~5 这段也没了呢，因为第 2 个区间的l都大约 0 了，之后的区间肯定就更大于 0 了，我们是按 l 从小到大排序的啊。

所以，我可以放一下代码了：

for(int i=2;i<=n;i++)
    if(a[i].r>lft){//如果跟可能被覆盖到的区间有交
        a[i].l=max(a[i].l,lft);//这里是使得之后的代码可以少写一点，因为显然，a[i].l<lft，a[i].l~lft这1段也没有用了
        if(a[i].r>rgt){//比之前的右端点大
            ans+=rgt-a[i].l;//从rgt到a[i].l
            lft=rgt;//之前的右端点显然就是左端点，显然，新的可能被覆盖到的区间就是之前的rgt~a[i].r
            rgt=a[i].r;//更新右端点
        }else{//比之前的右端点小
            ans+=a[i].r-a[i].l;//从a[i].r到a[i].l
            lft=a[i].r;//更新左端点
        }
    }

总结

我们先来看一下完整的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
    T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
    for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
    for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
    FF*=RR;
}//快读
template<typename T>void write(T x){
    if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}//快写
const int MAXN=1e5+10;
struct node{
    int l,r;//每次染色的左端点和右端点
    bool operator<(const node&b)const{
        return l<b.l;//按左端点从小到大排序
    }
}a[MAXN];
int position,ans,lft,rgt,n;
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;char y;
        read(x);cin>>y;
        a[i].l=position;
        if(y=='L')position-=x;//Bessie往左走
        else position+=x;//Bessie往右走
        a[i].r=position;
        if(a[i].l>a[i].r)swap(a[i].l,a[i].r);
    }sort(a+1,a+n+1);//排序
    lft=a[1].l;rgt=a[1].r;//给lft和rgt赋上初值
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(a[i].r>lft){//如果跟可能被覆盖到的区间有交
            a[i].l=max(a[i].l,lft);//这里是使得之后的代码可以少写一点，因为显然，a[i].l<lft，a[i].l~lft这1段也没有用了
            if(a[i].r>rgt){//比之前的右端点大
                ans+=rgt-a[i].l;//从rgt到a[i].l
                lft=rgt;//之前的右端点显然就是左端点，显然，新的可能被覆盖到的区间就是之前的rgt~a[i].r
                rgt=a[i].r;//更新右端点
            }else{//比之前的右端点小
                ans+=a[i].r-a[i].l;//从a[i].r到a[i].l
                lft=a[i].r;//更新左端点
            }
        }
    write(ans);//输出
    return 0;
}

补充一下正确性证明：

实际上作者想到这个方法的时候觉得显然是对的

其实主要就是为什么要 lft=a[i].r 可能有人对此有点问题，我来解释一下

\therefore$ 我们是按从小到大对 $a$ 数组进行排序，也就是 $a[i+1].l \geq a[i].l$，而 $a[i].l>lft