费马大定理的证明框架和 FLT(4) 的证明

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这里的 FLT(4) 指 a^4+b^4=c^4 无正整数解，即费马大定理在次数为 4 时的形式。

不会打垂直符号，别喷。本文参考了《数学女孩 2：费马大定理》。需要一些数论知识和初中数学水平。关于基本勾股数的形式的证明离题较远，此处假设大家都了解了。

FLT(4) 的证明部分需要一些基本的直觉和计算，而费马大定理的证明框架需要一些更加高阶的知识。

Part 1 FLT(4)

Part 1.1 问题转化

这玩意看着不像能直接证的样子，我们考虑反证法。

我们设这个方程有解 (a,b,c)。

注意到这个式子的次数太高了，我们考虑降次，定义 m=a^2,n=c^2。

不管 b 的话这个式子变成了二次的。但很显然如果想要用到 n,m 是平方数这种条件还是需要变成四次的。我们考虑 (A,B,C)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)

很显然这个 (A,B,C) 是符合勾股数的形式的。我们注意到 \frac{AB}{2}=(c^4-a^4)c^2a^2=(ab^2c)^2 是一个平方数，所以接下来我们只需要证明不存在边长皆为整数且面积为平方数的直角三角形即可。自己可以举几个例子，这似乎是对的。由于名字不够用了，反正前面的变量不需要再使用，我们直接把除 A,B,C,D 的变量的定义丢掉。

Part 1.2 m 与 n

注意到这是一道数论题，我们可以假设 \gcd(A,B)=1。实际上即使这个东西不等于一我们也可以同时给 A,B,C 除以 \gcd(A,B)，此处按下不表。注意到我们还有一个面积是平方数的条件，我们设 AB=2D^2。

这个式子还是有点不好上手，我们利用基本勾股数的形式定义 (A,B,C)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)，可以证明存在这样的正整数 m,n。我们令 m>n，同时易证 \gcd(m,n)=1 且 m,n 奇偶性不一致。

然后我们就自然地表示出了 A^2+B^2=C^2 的条件。同时带入 AB=2D^2 有 2mn(m+n)(m-n)=2d^2，即 mn(m+n)(m-n)=D^2

我们有 m,n,m+n,m-n 两两互质，这里 m+n,m-n 的互质证明较为复杂，给一下证明：

采用反证法。我们设有 pJ=m+n,pK=m-n，其中 p\geq 2，则有 p(J+K)=2m,p(J-K)=2n。由于 m,n 奇偶性不同，所以 p \neq 2。由于 m,n 互质，所以 p 不能大于等于 3。出现了矛盾，所以我们有 m+n,m-n 互质。

回到 mn(m+n)(m-n)=D^2，由于刚刚证的互质，我们有 m,n,m+n,m-n 皆为平方数。

Part 1.3 e,f,s,t,u,v

我们设 (m,n,m+n,m-n)=(e^2,f^2,s^2,t^2)，其中我们有 e,f,s,t 两两互质。因为 (m+n)-(m-n)=2n，我们有 2f^2=(s-t)(s+t)，同理有 2e^2=s^2+t^2。因为我们有 (s+t),(s-t) 均为偶数，所以我们有 f^2=2\frac{s+t}{2}\frac{s-t}{2}，所以 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 中至少有一个是偶数。根据和刚才相同的证法，有 \frac{s+t}{2},\frac{s-t}{2} 互质。因此，\frac{s+t}{2}\frac{s-t}{2} 中有一个是平方数，还有一个是平方数的两倍。我们设它们分别是 2u^2 和 v^2。

看似我们要分类讨论了，但是我们还有 2e^2=s^2+t^2 这个式子，变形一下得到 e^2=4u^4+v^4。这很像勾股定理的形式！我们定义 (A_1,B_1,C_1)=(2u^2,v^2,e)。我们考虑 D_1=\frac{A_1B_1}{2}，我们有 D_1^2=(uv)^2。我们也可以推出 A_1 和 B_1 互质。我们似乎回到了原点！

然而我们有 C>m\geq e=C_1，也就是说 C>C_1，同时没有东西阻止我们用 (A_1,B_1,C_1) 得出 C_2，(A_2,B_2,C_2) 得出 C_3，于是我们有 C>C_1>C_2>C_3>\cdots。但是正整数是有最小值的，如此无穷递降下去一定会有一个尽头，出现矛盾了！

所以我们证明了 FLT(4)。像这样的证明方法被称为无穷递降法，这也是由费马创造的。

Part 2 大致框架

这部分知识较难且和前面没啥大关系，只是因为主题一致就放在同一篇文章里了。

小补充：如果 FLT(n) 成立的话 FLT(kn) 必然成立，大家可以思考它的逆否命题，结论是显然的。

我们将怀尔斯时代重要的定理和命题列出来：

即使这些名词一个都不认识也不难看出谷山志村猜想的重要性，如果证明了它就相当于证明了费马大定理。实际上怀尔斯并没有证明谷山志村猜想，而是证明了它的半稳定形态：每一个半稳定的椭圆曲线都和模形式对应。不难猜到，弗赖曲线是半稳定的。

椭圆曲线其实和椭圆并没有关系。椭圆曲线是指形如 y^2=x^3+ax^2+bx+c 的方程，我们在这里以 y^2=x^3-x 举例。我们在有限域 F_p（p 为质数）内寻找这个方程的解。如果你不知道有限域，这差不多就是在寻找 x^3-x=y^2 在模 p 意义下的解。

我们用数列 \{s_p\} 来表示这些解的个数，非质数的地方放空，可得 \{s_p\}=0,2,3,0,7,0,0,7,0,0,0,11,0,7,0,0,0,15,\cdots。这是椭圆函数很重要的指纹，可以从另外一个角度看椭圆函数。

与之看似完全不相干的是，我们定义自守形式 \Phi(z)=\prod_{k=1}(1-e^{8k\pi iz})^2(1-e^{16k\pi iz})^2。这个函数有一个神奇的性质：\Phi(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^2\Phi(z)。在这个函数眼里 \frac{az+b}{cz+d} 这个变化和 z 是几乎等价的，只不过还有一点微小的偏差 (cz+d)^2，指数上这个 2 被称为权。这也是自守形式的名称来源：复平面函数在分式变换下保持不变。

我们将前面的几项进行展开，每项的系数排列出来成为数列 \{a_p\}=1,0,0,0,-2,0,0,0,-3,0,0,0,6,0,0,0,2,\cdots。这个数列相当于生成函数，可以复现出出模形式，也十分重要。

不难找出规律，对于任意的质数 p，s_p+a_p=p。这就是谷山志村定理。

两个看似毫不相干的世界，神奇的联系。这就是数学！