圆锥曲线与直线的交点

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标准方程的研究

考虑如下问题：给定圆锥曲线 C 以及过定点 P(x_0,y_0) 的直线 l:(y-y_0)=k(x-x_0)，其中 x_0,y_0,k 均已知，设 l 与 C 的交点为 A(x_1,y_1) 和 B(x_2,y_2)，求 (x_0-x_1)(x_0-x_2)。

以椭圆为例，联立方程组：

\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\ (y-y_0)=k(x-x_0) \end{cases}

可得：

f(x)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(k(x-x_0)+y_0)^2}{b^2}-1=0

且此方程两根分别为 x_1,x_2。

于是，由二次项系数可知 \left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)(x-x_1)(x-x_2)=f(x)。

将 f(x) 换回双参，结合以上式子，可得 (x_0-x_1)(x_0-x_2)=\dfrac{\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}-1}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}。

此等式有额外的组合意义：它是圆上众所周知的结论 |PA||PB|=x_0^2+y_0^2-r^2 对坐标系进行缩放后的结果，分母上的 1+k^2 表示将长度的乘积转化为横坐标之差的乘积。

我们令标准方程的 LHS 为 L(x,y)，RHS 为 R(x,y) 可得椭圆的答案为 \dfrac{(L-R)(x_0,y_0)}{L(1,k)}。

同理，对于双曲线：

(x_0-x_1)(x_0-x_2)=\dfrac{\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}-1}{\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{k^2}{b^2}}

抛物线：

(x_0-x_1)(x_0-x_2)=\dfrac{y^2-2px}{k^2}

可以发现，答案均为 \dfrac{(L-R)(x_0,y_0)}{L(1,k)} 的形式。

一般曲线

考虑 f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cx^2+Dx+Ey+F=0。用和上面相同的方式，答案的分母应当为二次项系数，即 \dfrac{f(x_0,y_0)}{f_{[2]}(1,k)}=\dfrac{Ax^2+Bxy+Cx^2+Dx+Ey+F}{A+Bk+Ck^2}。

所以标准方程的答案具有统一性是因为把二次项系数放在左边，其他系数放在右边。

另外提供一个 FUN FACT：对于不退化的一般式，令 \Delta=B^2-4AC，\Delta<0 图象是椭圆，\Delta=0 是抛物线，\Delta>0 是双曲线。

构建双根式函数

同时本题中构建的函数 (x-x_1)(x-x_2) 在部分题目中使用相比韦达定理可大幅减少计算量。

例题：（南京市 2026 届高三年级 9 月学情调研）已知双曲线 C:x^2-y^2=2 的左右焦点分别为 F_1,F_2，过 F_2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点。是否存在 x 轴上的定点 M，使得 \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} 为定值？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由。

已知坐标 F_2(2,0),M(t,0)，直线为 my+2=x。

同上联立可得 (m^2-1)(y-y_1)(y-y_2)=(my+2)^2-y^2-2。

\begin{aligned} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}&=(x_1-t)(x_2-t)+y_1y_2\\ &=m^2(y_1-(t/m-2/m))(y_2-(t/m-2/m))+(0-y_1)(0-y_2)\\ &=\frac{m^2}{m^2-1}((2+t-2)^2-(t/m-2/m)^2-2)+\frac{2}{m^2-1}\\ &=\frac{(t^2-2)m^2-(t^2-4t+2)}{m^2-1} \end{aligned}

上式为定值，所以 t^2-2=t^2-4t+2\Rightarrow t=1。

附录：合法圆锥曲线的判别

此部分没什么用。

考虑一般式方程的矩阵形式：

\begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&B/2&D/2\\ B/2&C&E/2\\ D/2&E/2&F\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix}=0

容易验证这和一般式等价。

则考虑令中间的方阵为 M，圆锥曲线不退化当且仅当 \det(M)\neq0。证明略。