运动方程

· · 科技·工程

1 广义坐标

质点的位置由径矢 \mathbf{r} 确定，其分量用笛卡尔坐标 x,\ y,\ z 表示。径矢 \mathbf{r} 对时间的导数

\mathbf{v} = \frac{d \mathbf{r}}{d t}

称为质点的速度。

为了确定 N 个质点组成系统的空间位置，需要确定 N 个径矢，即给定 3N 个坐标。

我们将唯一确定系统位置所需独立变量的数量记为系统的自由度，N 个质点组成的系统的自由度为 3N。这些独立的变量不一定是笛卡尔坐标，根据问题的条件，有时选取其他坐标更方便。

对于 s 个自由度的系统，可以完全刻画其位置的 s 个变量称为其广义坐标，记作 q_1, q_2, \dots, q_s。其导数 \dot{q}_i 则称为其广义速度。

单纯的给定 q 无法确定系统的“力学状态”。

经验表明，在给定系统的广义坐标和速度就可以确定系统的状态，并且原则上可以预测以后的运动。

从数学观点出发，在某时刻给定的所有广义坐标 q 和速度 \dot{q} 就确定了该时刻的加速度 \ddot{q}。

2 最小作用量原理

力学系统运动规律的最一般表述由最小作用量原理（或者哈密顿原理）给出。

根据这个原理，每一个力学系统都可以用一个确定的函数

L(q, \dot{q}, t)

所表征，并且系统的运动还要满足下面的条件。

假设在时刻 t = t_1 和 t = t_2 系统的位置由两组坐标 q^{(1)} 和 q^{(2)} 确定，那么系统在这两个位置之间的真实运动使得积分

S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt

取最小值。

函数 L 称为给定系统的拉格朗日函数（即动能与势能之差），上述积分 S 称为作用量。

我们先讨论系统只有一个自由度的情况。此时只需确定一个函数 q(t)。

设 q = q(t) 是使 S 取得最小值的函数，也就是说用任意函数：

q(t) + \delta q(t)

代替 q(t) 都会使得 S 增大。其中 \delta q(t) （也称为 q(t) 的变分）在从 t_1 到 t_2 的整个时间间隔内都是小量。为维持原来在 t_1 和 t_2 时刻的位置 q^{(1)} 和 q^{(2)}，我们显然有

\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0.

用 q(t) + \delta q(t) 代替 q(t) 使得 S 产生的增量为

\int_{t_1}^{t_2} L(q + \delta q, \dot{q} + \delta \dot{q}, t) dt - \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt.

这个差中的被积函数按 \delta q 和 \delta \dot{q} 的幂展开式是从一阶项开始的。S 取得最小值的必要条件之一是这些一阶项之和等于零。这个和称为积分的一阶变分。于是，最小作用量原理可以写成

\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt = 0,

或者变分后的形式：

\int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt = 0.

注意到 \delta \dot{q} = \frac{d}{dt} \delta q，于是

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d(\delta q).

对第二项分部积分得到：

\delta S = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt.

我们知道第一项由于 \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 而恒为零。剩下积分在 \delta q 任意取值时都应该等于零。这只有在被积函数恒等于零时才有可能。于是我们得到方程

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0.

对于有 s 个自由度的系统，我们可以将上述方程推广到 s 个方程：

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad (i = 1, 2, \dots, s).

上述方程称为拉格朗日方程。如果给定力学系统的拉格朗日函数已知，则上述方程可唯一描述该系统的运动。

如果一个力学系统由 A 和 B 两部分组成，如果每个部分封闭，拉格朗日函数分别是 L_A 和 L_B。在两个部分的相互作用可以被忽略的情况下，系统的拉格朗日函数趋向于极限：

\lim L = L_A + L_B.

这种可加性反映了一个事实：每一个独立部分的运动方程不能包含另一部分相关的物理量。

接下来讨论两个拉格朗日函数 L(q, \dot{q}, t) 和 L'(q, \dot{q}, t)，它们相差某个坐标和时间的函数的全导数：

L'(q, \dot{q}, t) = L(q, \dot{q}, t) + \frac{d}{dt} f(q, t).

计算它们对应的作用量积分可得：

S' = S + f(q^{(2)}, t_2) - f(q^{(1)}, t_1).

条件 \delta S = 0 和 \delta S' = 0 完全等价。

可见，拉格朗日函数仅仅可以定义到相差一个对时间和坐标的任意函数的时间全导数项。（必要性证明下辈子补上）

3 伽利略相对性原理

为了研究力学现象，必须选定参考系。一般来说，运动规律在不同的参考系下具有不同形式。所以我们要考察如何选择参考系使得力学规律在形式上最简单。

然而，并非任意参考系在空间和时间上都是均匀且各向同性的。若在某种参考系中，空间相对于它是均匀且各向同性的，时间相对于它是均匀的，那么我们称它为惯性参考系。特别地，在这样的参考系中，在某个时刻静止的物体将永远静止。

此时，拉格朗日函数只与速度 \mathbf{v} 有关，同时还与速度 \mathbf{v} 的方向无关。

此时拉格朗日方程可写为：

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} = 0.

由此可得 \mathbf{v} 为常矢量。

所以，在惯性参考系中，质点任何自由运动的速度的大小和方向均不变，这就是惯性定律。

若我们再引入一个相对这个参考系做匀速直线运动的参考系，则这两个参考系中的自由运动规律完全相同：自由运动仍然是匀速直线运动。

实验证明，不仅自由运动规律相对这两个参考系完全相同，所有力学关系式也是在这两个参考系中等价的。

设有两个不同的参考系 K 和 K'，K' 相对 K 以速度 \mathbf{V} 做匀速直线运动，那么它们的坐标 \mathbf{r} 和 \mathbf{r}' 满足关系式：

\left\{ \begin{aligned} &\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{V} t,\\ &t = t'. \end{aligned} \right.

（这里我们假设存在绝对时间。）

4 自由质点的拉格朗日函数

我们先讨论最简单的例子：质点相对惯性参考系的自由运动。

啊，过于简单，我们直接给出结论：

L' = L + \frac{d}{dt} (\text{不太重要的可以忽略的东西}).

注意到：

v^2 = \left( \frac{dl}{dt} \right)^2.

在笛卡尔坐标系中就有：

L = \frac{m}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2).

5 质点系的拉格朗日函数

接下来我们研究封闭质点系（不受系统外任何物体作用的质点系）。为了描述质点系内质点的相互作用，我们可以在自由质点系的拉格朗日函数中引入坐标的描述相互作用的函数 U，我们有：

L = \sum_{i \in S} \frac{m_i v_i^2}{2} - U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots).

函数 U 称为这个质点系的势能，而

T = \sum_{i \in S} \frac{m_i v_i^2}{2}

记为质点系的动能。

在已知拉格朗日函数后就可以建立运动学方程：

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}_i} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}_i}.

代入我们刚刚得出的拉格朗日函数可以得到：

m_i \frac{d \mathbf{v}_i}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_i}.

没错，这就是牛顿第二定律……虽然只适用于保守力……我们将

\mathbf{F}_i = -\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_i}

称为作用在第 i 个质点上的力。它与 U 一样，只依赖所有质点的坐标而不依赖于速度。因此，上面的方程表明，质点的加速度矢量也只是坐标的函数。

接下来我们研究非封闭质点系 A，它与运动完全已知的质点系 B 相互作用。这种情况下称 A 在 B 给定的外场中运动。我们假设质点系 A + B 是封闭的，则有：

L = T_A(q_A, \dot{q}_A) + T_B(q_B, \dot{q}_B) - U(q_A, q_B).

我们将 q_B 用时间的函数替换后，可以发现 T_B(q_B, \dot{q}_B) 只依赖于时间。

啊对，对于单个质点在均匀外场中，势能函数显然有：

U = -\mathbf{F} \cdot \mathbf{r}.