题解 P2026 【求一次函数解析式】
Eason_AC2
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题解
数学题目，可以用来加深理解二元一次方程组的通解。
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大家应该都知道的，二元一次方程组通常会有代入法和加减法等求解方式。看其他的博客里都没有详细讲到如何解一般的二元一次方程组。下面，我们先来推导出一般二元一次方程组的通解。
设我们有以下的方程组：
\begin{cases}ax+by=m&...(1)\\cx+dy=n&...(2)\end{cases}
我们下面用的是加减消元法，读者也可以用代入消元法尝试求出二元一次方程组的通解，有想法的咱们私信。
我们先想着消x，于是乎，将(1)式乘c可得：
acx+bcy=cm
再将(2)式乘a可得：
acx+ady=an
然后就可以得到这样的方程组：
\begin{cases}acx+bcy=cm&...(3)\\acx+ady=an&...(4)\end{cases}
然后(3)式减(4)式，就可以很愉快地消掉x啦，这时就只剩：
(bc-ad)y=cm-an
\therefore y=\frac{cm-an}{bc-ad}
同理，我们再用类似的方法消掉y（具体请读者自行尝试，提示：将(1) (2)式中y的系数变为一个量）。得到：
(ad-bc)x=dm-bn
\therefore x = \frac{dm-bn}{ad-bc}
$$\begin{cases}x=\frac{dm-bn}{ad-bc}\\y=\frac{cm-an}{bc-ad}\end{cases}$$
然后，这个题目跟上面的式子有什么关系呢？
学过一次函数的都知道，一次函数的解析式一般为$y=kx+b$，所以这样的函数在图像中会经过点$(x,y)$。
所以，我们不妨设其经过的两个点的坐标为$(m,n),(p,q)$，将这两个点的坐标代入$y=kx+b$就有：
$$\begin{cases}mk+b=n\\pk+b=q\end{cases}$$
这下你就明白了，根据上面$\begin{cases}ax+by=m\\cx+dy=n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=\frac{dm-bn}{ad-bc}\\y=\frac{cm-an}{bc-ad}\end{cases}$我们可代入求得：
$$\begin{cases}k=\frac{n-q}{m-p}\\b=\frac{pn-mq}{p-m}\end{cases}$$
所以，这道题目的轮廓就出来了，然后我们再考虑细节问题：
1. $\frac{n-q}{m-p}$是不是整数？不是的话该怎么约分？$\frac{pn-mq}{p-m}$呢？
2. 如何处理系数是负数的情况？
3. 什么时候该省略项？
我们一一解决这些问题：
A1: $\frac{n-q}{m-p}$是不是整数，只需要看$n-q$是否能被$m-p$整除，即是否有$(n-q)~mod~(m-p)=0$就可以了，如果不是的话，约分也好办，取$\gcd(n-q,m-p)$，然后这两个数分别除以这个最大公因数。
注意！$n-q$和$m-p$尽量用一个变量来存储！$\gcd(n-q,m-p)$也用一个变量来存储。
A2: 如果是分子是负数，并且分母也是负数，就全部都转为正就行了，单有分子是负数更加不用变，分母是负数也全部取相反数。
A3：当x或常数项的系数为0的时候，不用输出。
具体来看看代码加深理解吧：
```cpp
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int m, n, p, q, a, b;
//y=ax+b
int gcd(int a, int b) {
return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d", &m, &n, &p, &q);
printf("y=");
int t1 = n - q, t2 = m - p, t3 = p * n - m * q, t4 = p - m;
if(t1 % t2) {
if(gcd(t1, t2) != 1) {
int g = gcd(t1, t2);
t1 /= g;
t2 /= g;
}
if(t2 < 0) t2 = -t2, t1 = -t1;
printf("%d/%d*x", t1, t2);
} else if(t1 / t2)
printf("%dx", t1 / t2);
if(t3 % t4) {
// printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
if(gcd(t3, t4) != 1) {
int g = gcd(t3, t4);
// printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
t3 /= g;
t4 /= g;
}
// printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
if(t4 < 0) t3 = -t3, t4 = -t4;
// printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
if(t3 < 0)
printf("%d/%d", t3, t4);
else
printf("+%d/%d", t3, t4);
} else if(t3 / t4 < 0)
printf("%d", t3 / t4);
else if(t3 / t4)
printf("+%d", t3 / t4);
return 0;
}
```
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当然，我写得这么用心，不给个赞和五星好评再走嘛？