题解 P3235 【[HNOI2014]江南乐】

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九月四日 update：更改了错误的证明

我发现其他题解都是用记忆化，蒟蒻表示看不懂，这里提供一种预处理 SG 值的代码。

首先我们要知道 SG 定理: SG_{tot} = SG_1 \ xor \ SG_2\ xor \ SG_3 \ xor \ ... \ xor \ SG_n 。

这里地方太小，我施展不开，就不证明了。（好吧太难了我不会）

所以我们可以预处理出1到100000中每个数的 SG 值，对于每一个询问，我们只需求一下 SG_{tot} 就好了。

那怎么预处理出每一个数的 SG 值呢？

对于某一堆 i ，有 i 个石子，我们可以枚举分成的堆数 m (2 \le m \le i) 。设分成 m 堆后， 每堆的石子个数为 x_i ， 我们求出 SG[x_i] 的异或和 res ，就是分成 m 堆后的状态的 SG 值，然后取 mex 运算得出当前状态 i 的 SG 值。

可这太暴力了，时间复杂度是 O(n^2) 的，70分，考虑优化。

我们可以发现分成的 m 堆的石子数最多有两种取值，分别是： i / m, (i / m) + 1 。这两种取值的个数分别是： i \% m , m - i\%m 。

再考虑有贡献的值，因为求的是 SG 的异或和，所以只有某个取值的个数为奇数个时，才有贡献。接下来只需判断两种取值的个数的奇偶性就好了。

举个例子： i = 9 时

m :     2 3 4 5 6 7 8 9
i / m : 4 3 2 1 1 1 1 1

可以发现 m 从5到9， i / m 值是相同的，对于某些不同的 m ， i / m 的值相同，就可以用整除分块做。我们把后面分的石子堆数都列出来：

5 ： 2 2 2 2 1           
6 ： 2 2 2 1 1 1
7 ： 2 2 1 1 1 1 1
8 ： 2 1 1 1 1 1 1 1
9 ： 1 1 1 1 1 1 1 1 1

可以发现某一个数目的石子堆数的奇偶性是一定的，证明：多举几个例子就好了

当 \begin{aligned}\frac{i} { m}\end{aligned} 为奇数时， \begin{aligned}m -i\%m = m - (i- m\times\lfloor \frac{i}{m}\rfloor)=m \times (1+\lfloor \frac{i}{m}\rfloor)-i\end{aligned} ，对于 \begin{aligned}1+\lfloor \frac{i}{m}\rfloor\end{aligned} 为偶数， m + 1 后，奇偶性不变

当 \begin{aligned}\frac{i} { m}\end{aligned} 为偶数时， \begin{aligned}i\%m = i- m\times\lfloor \frac{i}{m}\rfloor\end{aligned} ， m + 1 后，奇偶性不变 (感谢@Ame__ 的提醒qwq)

所以对于 i / m 相等的块内，分出的石子数的两种取值的奇偶性的组合只有两种（有点绕，好好想想），所以对于一整块内只需算出这两种不同的 SG 异或和就好了，因为取 mex 运算不需要判断重复的值。第一种和第二种一定可以算出所有不同的 SG 异或和的值，算前两种就好了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 105, M = 1e5 + 5;
int T, F, n;
int a[N], SG[M], vis[N];

int main() {

    T = read(); F = read();
// 1 到 F-1 先手必输，SG数组的值为0
    for(int i = F;i <= M - 5; i++) {
        int r;
        for(int j = 2;j <= i; j = r + 1) {
            int t = i / j;
            r = i / (i / j);
            int flag;
            if(j == r) flag = 1; // 如果i/m值相等的只有一个数，那就不需要算两遍了
            else flag = 2;
            int num = 0, res = 0;
            while(num < flag) {
                num++;
                res = 0;
                if((i % j) & 1) 
                    res ^= SG[t + 1];
                if((j - i % j) & 1) 
                    res ^= SG[t];
                j++;
                vis[res] = i;
            }
        }
        for(int j = 0; ; j++) 
            if(vis[j] != i) { 
                SG[i] = j; break;
            }
    }

    while(T --> 0) {
        n = read(); 
        int res = 0;
        for(int i = 1;i <= n; i++) {
            a[i] = read();
            res ^= SG[a[i]];
        }
        if(res == 0) printf("0 ");
        else printf("1 ");
    }

    return 0;
}

（如果哪有不对的还请dalao指正）