题解 CF612E 【Square Root of Permutation】

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Description

给定一个n的排列p_i，求一个排列q_i，使得对于任意1\leq i\leq n，q_{q_i}=p_i。无解输出-1。

### $Solution

对排列q_i我们建一张图，边为i\to q_i。显然这张图是由几个环构成。

发现对于q_{q_i}的图，原来q_i中的奇环它们还是类似的一个奇环，原来的偶环会分裂成两个大小相等的偶环。

所以对p_i建图，找出里面的环，是奇环就把相邻点间隔为2地插入到环里，是偶环就找到和它一样大的一个合并，找不到就无解。这样就可以得到q_i的图了。

复杂度O(n)。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;

int nxt[N],q[N],tmp[N],tmp2[N],id[N];
bool vis[N];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
    return now;
}

int main()
{
    const int n=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) nxt[i]=read();
    for(int s=1; s<=n; ++s)
        if(!vis[s])
        {
            int cnt=0,x=s;
            do
            {
                tmp[++cnt]=x, vis[x]=1, x=nxt[x];
            }while(x!=s);
            if(cnt&1)
            {
                for(int i=1,now=0; i<=cnt; ++i,(now+=2)%=cnt) tmp2[now]=tmp[i];
                for(int i=0; i<cnt; ++i) q[tmp2[i]]=tmp2[i+1];
                q[tmp2[cnt-1]]=tmp2[0];
            }
            else
            {
                if(!id[cnt]) id[cnt]=s;
                else
                {
                    int y=id[cnt],x=y,t=0;
                    do
                    {
                        tmp2[++t]=x, x=nxt[x];
                    }while(x!=y);
                    for(int t1=1,t2=1,las=tmp[1],i=t<<1; i; --i)
                        las=q[las]=i&1?tmp[++t1]:tmp2[t2++];
                    q[tmp2[t]]=tmp[1], id[t]=0;
                }
            }
        }
    for(int i=2; i<=n; i+=2) if(id[i]) return puts("-1"),0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) printf("%d ",q[i]);

    return 0;
}