题解 P3350 [ZJOI2016]旅行者

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肿么没有人证明复杂度，那我来证一个。

考虑分治，每次像猫树那样处理一个分治区间 [l_x,r_x],[l_y,r_y] 表示当前处理 x_1,x_2\in[l_x,r_x]，y_1,y_2\in[l_y,r_y] 范围内的所有询问。处理当前层的询问是好办的，考虑令 mid=\lfloor\dfrac{l_x+r_x}{2}\rfloor，那么我们对于 y\in[l_y,r_y]，我们一遍 dijkstra 求出 (mid,y) 到所有 (X,Y) 的最短距离（X\in[l_x,r_x],Y\in[l_y,r_y]），然后对于所有询问 (x_1,y_1,x_2,y_2) 我们用 dis_{x_1,y_1}+dis_{x_2,y_2} 更新答案。然后递归处理剩余询问——跨中线的询问就扔了不管了，全在左部的询问就扔到左边，全在右部的询问就扔到右边依次递归。

如果每次都劈 [l_x,r_x] 的话复杂度显然是错误的，考虑一个浅显的优化：每次像 KDT 那样取区间长度较大的那一维劈开。如果你尝试实现这样的暴力你会发现你获得了 100 分的好成绩。这是为什么呢？首先正确性显然，跨中线的询问显然必须经过某个 (mid,y)，因此此轮更新已经包含了所有的情况，不用进一步递归。而全在左部的询问，我们已经求出了它到中间某个点然后折返的最小代价，此时如果它绕到右部，那么它必然经过中线，这种情况我们也已经计算过了，故该算法的正确性是没有问题的。

接下来考虑复杂度，注意到一轮更新的复杂度是 nm\min(n,m)\log nm+\min(n,m)·Q，由于这个 \min 的存在，使复杂度达到最大值的图形形状肯定形如一个正方形（或者一个长宽比为 1:\sqrt{2} 的矩形懒得管了，总之大概就这个量级的，不会长宽相差过于悬殊，下面分析就以正方形来推），而后面的 \min(n,m)·Q 只与询问递归的深度有关，因此最劣情况肯定是询问递归到底，下面就用这种情况来分析复杂度。

设 T(n,Q) 表示边长为 n 的正方形有 Q 个询问的复杂度，T(n,m,Q) 表示 n\times m 的矩形有 Q 个询问的复杂度，那么有

T(n,Q)=n^3\log(n^2)+nq+T(\dfrac{n}{2},n,Q) T(n,Q)=n^3\log(n^2)+nq+((\dfrac{n}{2})^2·n·\log(n^2)+\dfrac{n}{2}·Q)\times 2+4T(\dfrac{n}{2},\dfrac{Q}{4}) T(n,Q)=\dfrac{3}{2}n^3\log(n^2)+2nQ+4T(\dfrac{n}{2},\dfrac{Q}{4}) T(n,Q)=\sum\limits_{i=0}^{\log(n^2)}\dfrac{3}{2}·(\dfrac{n}{2^i})^3·4^i\log(n^2)+2·\dfrac{n}{2^i}·\dfrac{Q}{4^i}·4^i T(n,Q)=\sum\limits_{i=0}^{\log(n^2)}\dfrac{3}{2}·\dfrac{n^3}{2^i}·\log(n^2)+2·\dfrac{n}{2^i}·Q

显然 T(n,Q)=n^3\log(n^2)+nQ=A\sqrt{A}\log A+\sqrt{A}·Q。

其中 A=\max\{nm\}。

const int MAXV = 2e4;
const int MAXQ = 1e5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, qu, res[MAXQ + 5]; pii rid[MAXV + 5];
struct qry {int x1, y1, x2, y2;} q[MAXQ + 5];
int hd[MAXV + 5], to[MAXV * 4 + 5], nxt[MAXV * 4 + 5], val[MAXV * 4 + 5], ec = 0;
int getid(int x, int y) {return (x - 1) * m + y;}
void adde(int u, int v, int w) {to[++ec] = v; val[ec] = w; nxt[ec] = hd[u]; hd[u] = ec;}
int dis[MAXV + 5];
void dijkstra(int l1, int r1, int l2, int r2, int X, int Y) {
    if (dis[getid(X, Y)] != INF) {
        for (int i = l1; i <= r1; i++) for (int j = l2; j <= r2; j++)
            if (i != X || j != Y) dis[getid(i, j)] += dis[getid(X, Y)];
    }
    dis[getid(X, Y)] = 0;
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;
    q.push(mp(0, getid(X, Y)));
    while (!q.empty()) {
        pii p = q.top(); q.pop(); int x = p.se;
        for (int e = hd[x]; e; e = nxt[e]) {
            int y = to[e], z = val[e];
            if (l1 <= rid[y].fi && rid[y].fi <= r1 && l2 <= rid[y].se && rid[y].se <= r2) {
                if (dis[y] > dis[x] + z) dis[y] = dis[x] + z, q.push(mp(dis[y], y));
            }
        }
    }
}
void solve(int l1, int r1, int l2, int r2, vector<int> cd) {
    if (l1 == r1 && l2 == r2) {
        for (int id : cd) res[id] = 0;
        return; 
    }
    if (r1 - l1 + 1 > r2 - l2 + 1) {
        int mid = l1 + r1 >> 1;
        for (int i = l1; i <= r1; i++) for (int j = l2; j <= r2; j++) dis[getid(i, j)] = INF;
        for (int i = l2; i <= r2; i++) {
            dijkstra(l1, r1, l2, r2, mid, i);
            for (int id : cd) chkmin(res[id], dis[getid(q[id].x1, q[id].y1)] + dis[getid(q[id].x2, q[id].y2)]);
        }
        vector<int> L, R;
        for (int id : cd) {
            if (max(q[id].x1, q[id].x2) <= mid) L.pb(id);
            if (min(q[id].x1, q[id].x2) > mid) R.pb(id);
        }
        solve(l1, mid, l2, r2, L); solve(mid + 1, r1, l2, r2, R);
    } else {
        int mid = l2 + r2 >> 1;
        for (int i = l1; i <= r1; i++) for (int j = l2; j <= r2; j++) dis[getid(i, j)] = INF;
        for (int i = l1; i <= r1; i++) {
            dijkstra(l1, r1, l2, r2, i, mid);
            for (int id : cd) chkmin(res[id], dis[getid(q[id].x1, q[id].y1)] + dis[getid(q[id].x2, q[id].y2)]);
        }
        vector<int> L, R;
        for (int id : cd) {
            if (max(q[id].y1, q[id].y2) <= mid) L.pb(id);
            if (min(q[id].y1, q[id].y2) > mid) R.pb(id);
        }
        solve(l1, r1, l2, mid, L); solve(l1, r1, mid + 1, r2, R);
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++)
        rid[getid(i, j)] = mp(i, j);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j < m; j++) {
        int x; scanf("%d", &x);
        adde(getid(i, j), getid(i, j + 1), x);
        adde(getid(i, j + 1), getid(i, j), x);
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) {
        int x; scanf("%d", &x);
        adde(getid(i, j), getid(i + 1, j), x);
        adde(getid(i + 1, j), getid(i, j), x);
    }
    scanf("%d", &qu); memset(res, 63, sizeof(res));
    for (int i = 1; i <= qu; i++) scanf("%d%d%d%d", &q[i].x1, &q[i].y1, &q[i].x2, &q[i].y2);
    vector<int> all; for (int i = 1; i <= qu; i++) all.pb(i);
    solve(1, n, 1, m, all);
    for (int i = 1; i <= qu; i++) printf("%d\n", res[i]);
    return 0;
}