球面三角学习笔记

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前言

若有笔误或其他细节问题，欢迎私信指出。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/vclxuqz7.png) 附一张用 GeoGebra 画的图。 # 正文 ## 0x00 球面上的圆 用一个平面截球面，所得的截口是一个圆。有两种情况： - 该平面通过球心。所得圆的圆心是球心，这种圆称作**大圆**。 - 该平面不通过球心。所得圆的圆心不是球心，这种圆称作**小圆**。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/f3r2zfmj.png) 容易证明，通过球面上不在同一直径两端的两点，能作且仅能作一个大圆。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/rlwnkshf.png) ## 0x10 球面上的极 通过球面上任意一个圆的圆心，作一条垂直于圆面的直线。该直线一定经过球心，并于球面交于直径的两端 $P$ 和 $P'$，称为该圆的**极**。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/rm9l1iqk.png) 球面上一个圆的极到圆上任意一点的角距称作**极距**。特别地，大圆的极距为 $90 \degree$。 ## 0x20 球面角 两个大圆弧相交所成的角称作**球面角**，交点称为球面角的顶点，大圆弧称作球面角的边。 ![](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/nq4vslb5.png) 如图，$\overgroup{AP}$ 和 $\overgroup{BP}$ 是两个相交的大圆弧，$\overgroup{AP}$ 所在平面为 $AOP$，$\overgroup{BP}$ 所在平面为 $BOP$，两个平面的交线是 $OP$。 球面角 $\angle APB$ 的角度可以用平面 $AOP$ 与平面 $BOP$ 形成的二面角度量。 作以 $P$ 为极的大圆，分别与 $\overgroup{AP}$、$\overgroup{BP}$ 交于 $A'$、$B'$。 容易证明，球面角 $\angle APB = \angle A'OB'$。 由此得出：**以球面角的顶点作大圆，则球面角的边或其延长线在此大圆上所截的弧就是球面角的数值。** ## 0x30 球面三角形 将球面上的三个点分别用三个大圆弧连起来，所围成的图形称为**球面三角形**，这三个点称为球面三角形的**顶点**。$\mathop{}\limits^{[1]}

如图，\overgroup{AB}、\overgroup{BC}、\overgroup{CA} 是球面三角形 \triangle ABC 的三边。

简单球面三角形具有如下的性质：

  1. 两边之和大于第三边。

  2. 等角对等边，等边对等角。

  3. 大角对大边，大边对大角。

  4. 三边之和大于 0 \degree，小于 360 \degree。

  5. 三角之和大于 180 \degree，小于 540 \degree。

定义 \epsilon = A + B + C - 180 \degree，称作该球面三角形的球面角超。

球面角超的计算公式：\epsilon = \dfrac{S}{R^2}。

其中 S 为球面三角形的面积，R 为球的半径。

0x40 极三角形

设球面三角形 \triangle ABC 中边 \overgroup{BC}、\overgroup{AC}、\overgroup{AB} 的极分别为 A'、B'、C'，且设 \overgroup{AA'}、\overgroup{BB'}、\overgroup{CC'} 均小于 90 \degree，则称球面三角形 \triangle A'B'C' 为球面三角形 \triangle ABC 的极三角形。

存在以下定理：

  1. 若一个球面三角形为另一球面三角形的极三角形，则另一球面三角形也为这一三角形的极三角形。

  2. 极三角形的边与原三角形中对应角互补，极三角形中的角与原三角形中对应边互补。

0x50 球面三角形公式

0x51 边的余弦公式

如图，O 为球心，\triangle ABC 为球面三角形。

过 A 作 c 的切线，交 OB 的延长线于 D；过 A 作 b 的切线，交 OC 的延长线于 E。

由于 OA 垂直于平面 ADE，故球面角 \angle BAC = \angle DAE。

在 \triangle DOE 中，(DE)^2 = (OD)^2 + (OE)^2 - 2(OD)(OE) \cos \angle DOE。

在 \triangle DAE 中，(DE)^2 = (AD)^2 + (AE)^2 - 2(AD)(AE) \cos \angle DAE。

在 \triangle OAE 中，\angle OAE = 90 \degree，\angle AOE = b，则：

AE = (OA) \tan b$，$OE = (OA) \sec b.

在 \triangle OAD 中，\angle OAD = 90 \degree，\angle AOD = c，则：

AD = (OA) \tan c$，$OD = (OA) \sec c.

另外 \angle BOC = \angle DOE = a，\angle DAE = A。

联立上述式子，得：

\begin{cases}(DE)^2 = (OA)^2 (\sec^2 b + \sec^2 c - 2 \sec b \sec c \cos a),\\(DE)^2 = (OA)^2 (\tan^2 b + \tan^2 c - 2 \tan b \tan c \cos A).\end{cases}

所以：

\sec^2 b + \sec^2 c - 2 \sec b \sec c \cos a = \tan^2 b + \tan^2 c - 2 \tan b \tan c \cos A.

化简得：

同理可得 $\cos b$ 与 $\cos c$ 的表达式。 $\begin{cases} \cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A,\\ \cos b = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B,\\ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C. \end{cases}

0x52 角的余弦公式

设球面三角形 \triangle ABC 的极三角形为 \triangle PQR。根据边的余弦公式，我们有：

\cos p = \cos q \cos r + \sin q \sin r \cos P.

由于极三角形的边与原三角形中对应角互补，极三角形中的角与原三角形中对应边互补，所以：

p = \pi - A$，$q = \pi - B$，$r = \pi - C$，$P = \pi - a.

从而得出：

\cos A = - \cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a.

同理可得 \cos B 与 \cos C 的表达式。

\cos A = - \cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a,\\ \cos B = - \cos A \cos C + \sin A \sin C \cos b,\\ \cos C = - \cos A \cos B + \sin A \sin B \cos c. \end{cases}

0x53 正弦公式

如图，O 为球心，\triangle ABC 为球面三角形。

在 OC 上任取一点 P，并作 PS 垂直于平面 AOB。

作 SQ \perp OA，SR \perp OB。显然 PQ \perp OA，PR \perp OB。

易证 \angle PQS = A，\angle PRS = B。

在直角三角形 \triangle OQP 与 \triangle ORP 中，\dfrac{PQ}{OP} = \sin b，\dfrac{PR}{OP} = \sin a。

在直角三角形 \triangle PQS 与 \triangle PRS 中，\dfrac{PS}{PQ} = \sin A，\dfrac{PS}{PR} = \sin B。

将上述式子分别相乘，得：

\dfrac{PS}{OP} = \sin A \sin b = \sin a \sin B.

即：

\dfrac{\sin a}{\sin A} = \dfrac{\sin b}{\sin B}.

同理，\dfrac{\sin a}{\sin A} = \dfrac{\sin c}{\sin C}。

于是我们得出正弦公式：

\dfrac{\sin a}{\sin A} = \dfrac{\sin b}{\sin B} = \dfrac{\sin c}{\sin C}.

0x54 第一组五元素公式

我们知道 \cos b = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B。

也就是 \sin a \sin c \cos B = \cos b - \cos a \cos c。

将 \cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A 代入，得：

\sin a \sin c \cos B &= \cos b - \cos c (\cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A)\\ &=\cos b - \cos b \cos^2 c - \cos c \sin b \sin c \cos A\\ &=\cos b - \cos b (1 - \sin^2 c) - \cos c \sin b \sin c \cos A \\ &= \cos b \sin^2 c - \cos c \sin b \sin c \cos A. \end{aligned}

两边同时除以 \sin c，得：

\sin a \cos B = \cos b \sin c - \cos c \sin b \cos A.

这是球面三角形三条边与两个角之间的关系式，称作五元素公式。

同理可得其他五元素公式：

\sin a \cos B = \cos b \sin c - \cos c \sin b \cos A,\\ \sin a \cos C = \cos c \sin b - \cos b \sin c \cos A,\\ \sin b \cos A = \cos a \sin c - \cos c \sin a \cos B,\\ \sin b \cos C = \cos c \sin a - \cos a \sin c \cos B,\\ \sin c \cos A = \cos a \sin b - \cos b \sin a \cos C,\\ \sin c \cos B = \cos b \sin a - \cos a \sin b \cos C.\end{cases}

以上六式称作第一组五元素公式。

0x55 第二组五元素公式

利用极三角形与原三角形的边角关系，可推得第二组五元素公式。

\sin A \cos b = \cos B \sin C + \cos C \sin B \cos a,\\ \sin A \cos c = \cos C \sin B + \cos B \sin C \cos a,\\ \sin B \cos a = \cos A \sin C + \cos C \sin A \cos b,\\ \sin B \cos c = \cos C \sin A + \cos A \sin C \cos b,\\ \sin C \cos a = \cos A \sin B + \cos B \sin A \cos c,\\ \sin C \cos b = \cos B \sin A + \cos A \sin B \cos c.\\ \end{cases}

0x56 四元素公式

我们知道 \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C。

将 \cos b = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B 代入，得：

\cos c&=\cos a (\cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B) + \sin a \sin b \cos C\\ &=\cos^2 a \cos c + \cos a \sin a \sin c \cos B + \sin a \sin b \cos C\\ &=(1 - \sin^2 a) \cos c + \cos a \sin a \sin c \cos B + \sin a \sin b \cos C\\ &= \cos c - \sin^2 a \cos c + \cos a \sin a \sin c \cos B + \sin a \sin b \cos C. \end{aligned}

即：

\sin^2 a \cos c = \cos a \sin a \sin c \cos B + \sin a \sin b \cos C.

两边同时除以 \sin a \sin c，得：

\sin a \cot c = \cos a \cos B + \dfrac{\sin b}{\sin c} \cos C.

将 \dfrac{\sin b}{\sin c} = \dfrac{\sin B}{\sin C} 代入，得：

\sin a \cot c = \cos a \cos B + \sin B \cot C.

即：

\cos a \cos B = \sin a \cot c - \sin B \cot C.

同理可得其他表达式。

\cos a \cos B = \sin a \cot c - \sin B \cot C,\\ \cos a \cos C = \sin a \cot b - \sin C \cot B,\\ \cos b \cos A = \sin b \cot c - \sin A \cot C,\\ \cos b \cos C = \sin b \cot a - \sin C \cot A,\\ \cos c \cos A = \sin c \cot b - \sin A \cot B,\\ \cos c \cos B = \sin c \cot a - \sin B \cot A. \end{cases}

以上六式称作四元素公式。

注释