题解 P2679 【子串】

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看到各位DP数组都只开两三维的我很害怕啊，我来讲一讲如何很暴力的做这道题。

状态

首先我们考虑设计状态。我们发现，为了保证无后效性的一位一位往后推，我们需要记录当前推到a串的哪一个位置了；接着还有记录匹配了b串的那几个字符。因为是按照原串顺序，所以相当于是即匹配b的前几个字符。有这些还不够，我们还要记录划分了几个子串。最后，为了便于转移，我们还要标记一维0/1状态，表示a串中的第i个字符是否选入。

这样，我们就设计好了状态。我们记f_{i,j,p,v}表示到a串的第i个位置为止使用p个子串匹配b串前j位字符且第i个位置选或不选（v）的方案数。

转移

设计好状态，不会转移怎么行。我们分情况考虑。

  1. 当a_i=b_j时：

    2. 容易得到f_{i,j,p,1}=f_{i-1,j-1,p,1}+f_{i-1,j-1,p-1,0}+f_{i-1,j-1,p-1,1}.

  2. 当a_i\ne b_j时：

    1. 不选情况同上，即f_{i,j,p,0}=f_{i-1,j,p,0}+f_{i-1,j,p,1}.

    2. 由于选不了，自然就是0，即f_{i,j,p,1}=0.

优化空间

如果你读完状态设计之后又稍微思考就会发现，空间可能较大。空间不够怎么办？在luogu还好说，如果真的在NOIP，应该是不敢开1000\times200\times200\times2=8\times10^7的数组吧。所以我们观察转移方程，发现每次转移只用到了前一位！于是我们把第一维很愉快地滚掉了。这样，空间复杂度就保证是O(mk)了。那么时间呢？时间是O(n\cdot mk)，但是时间不像空间，这个复杂度是可以接受的。于是，完整算法就结束了。

Cpp代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int MAXN=1010;
const int MAXM=210;
const int MOD=(int)(1e9)+7;
int f[2][MAXM][MAXM][2];
char a[MAXN],b[MAXM];
int n,m,k;bool val=1;

void dp(){
    f[0][0][0][0]=f[1][0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++,val^=1)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int p=1;p<=k;p++){
                if(a[i]==b[j]){
                    f[val][j][p][0]=(f[val^1][j][p][0]+f[val^1][j][p][1])%MOD;
                    f[val][j][p][1]=(f[val^1][j-1][p][1]+\
                                    (f[val^1][j-1][p-1][0]+f[val^1][j-1][p-1][1])%MOD)%MOD;
                }
                else{
                    f[val][j][p][0]=(f[val^1][j][p][0]+f[val^1][j][p][1])%MOD;
                    f[val][j][p][1]=0;
                }
            }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    dp();
    printf("%d\n",(f[n&1][m][k][0]+f[n&1][m][k][1])%MOD);
    return 0;
}