一些好玩的经典游戏的数据

· · 算法·理论

如果图片/链接炸掉，你可能要用和进入洛谷国际站相同的方法

本文大多数数字都要在前面加“约”。

石头剪刀布

规则

这是一个全球通用规则统一的双人零和博弈游戏。

有三个手势：石头（手捏券）、剪刀（食指和中指伸出）、布（手摊开），两个人各选一个手势

图片备用链接：https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/yyh65pny.png

来源：[OC] Percentage of Americans who chose Rock, Paper or Scissors for each of the three rounds in the game.

可以看到，所有轮出石头的人都是最多的，第一轮占据了一半多！所以

下几轮就太复杂了，不讨论。

生日悖论

介绍

只要有 23 个人，就有超过 50% 的概率至少有两个人同一天生日！

数据

您是 OIer，验证的话自己写一个期望 DP 算就行，就不放来源了。

人数 n 至少两人同一天生日的概率
10 11.7\%
20 41.1\%
23 50.7\%
30 70.6\%
50 97.0\%
70 99.9\%
100 99.99997\%
366 100\%

公式：

1 − (\frac{365!}{(365^n × (365−n)!)})

广义生日悖论

碰撞概率 >50\% 需要多少人
一年 365 天 23 人
1\sim1000 的数字 34 人
1\sim10000 的数字 118 人
任意哈希值（2^{256}） 约 2^{128} 人

这启示我们写双哈希。

猜数字

这个游戏并不出名，让我们先玩一遍这个游戏

规则

一个 10\sim50 的数字合法的要求这个数字十位和个位上的数都是偶数，且不能相同。

像 19,36 就不行。

现在你想一个合法的数字。 ::::info[您心中的数字是（成功概率很低）]

46

::::

解释

::::info[猜完再看] 这个游戏只有 30\% 的成功。

根据规则，可行的数只有：

20 24 26 28 40 42 46 48

这 8 个。然后在后面说了

像 19,36 就不行。

这其实是暗示你往 >36 的数字想（不要问为什么，因为我也不会这是高深的心理学）

现在只剩下 40,42,46,48 了，46 的概率最大。 ::::

数据：似乎没有，这个游戏是我在某本忘了的书上看到的，但和小学同学玩下来很对。

随机数字 1

规则

参加游戏首先需要上缴 100\times\mathsf{item.minecraft.nether\_star}。

您首先选一个数字，然后在 1\sim100 中均匀随机选整数 10^{4} 次，统计这些数中和您选的相同的数字次数 \mathsf{cnt}，您获得 \mathsf{cnt}\times\mathsf{item.minecraft.nether\_star} 。

显然的，这样无论怎么选择，最后期望都是 0。

随机数字 2

规则

参加游戏首先需要上缴 120\times\mathsf{item.minecraft.nether\_star}。

然后在 1\sim100 中均匀随机选整数 10^{4} 次，您在知道这些数据之后选择一个数，统计这些数中和您选的相同的数字次数 \mathsf{cnt}，您获得 \mathsf{cnt}\times\mathsf{item.minecraft.nether\_star} 。

分析

这个游戏是赚的，纯数学证明比较困难，下面给出模拟的代码： ::::info[code with Github Copilot]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    const int trials = 10000;      // 模拟次数，可自行调大
    const int draws = 10000;        // 每次抽样次数
    const int range = 100;          // 数字范围 1~100
    const int cost = 120;           // 入场费

    mt19937 rng(random_device{}());
    uniform_int_distribution<int> dist(0, range - 1);

    long long sum_max_cnt = 0;
    long long sum_profit = 0;
    int not_lose = 0;
    int win = 0;

    vector<int> cnt(range);

    for (int t = 0; t < trials; ++t) {
        fill(cnt.begin(), cnt.end(), 0);

        for (int i = 0; i < draws; ++i) {
            int x = dist(rng);
            cnt[x]++;
        }

        int mx = *max_element(cnt.begin(), cnt.end());
        sum_max_cnt += mx;

        int profit = mx - cost;
        sum_profit += profit;
        if (mx >= cost) not_lose++;
        if (mx > cost) win++;
    }

    cout << fixed << setprecision(6);
    cout << "Trials = " << trials << "\n";
    cout << "Expected max count = " 
         << (double)sum_max_cnt / trials << "\n";
    cout << "Expected net profit = "
         << (double)sum_profit / trials << "\n";
    cout << "P(not losing) = "
         << (double)not_lose / trials * 100 << "%\n";
    cout << "P(win) = "
         << (double)win / trials * 100 << "%\n";

    return 0;
}

::::

通过模拟 10^5 次，得到赚的概率约为 91\%，亏的概率约为 4.7\%，期望是 126.013，标准差 4.56。

下面是表格：

我也不知道为啥看起来比较神金。 ::::info[AI 使用声明] 这部分表格的绘制和模拟代码都有 AI 辅助（图片：GPT-5.1），已经审查内容保证无误。 ::::

随机数字 3

规则

参加游戏首先需要上缴 100\times\mathsf{item.minecraft.nether\_star}。

您首先选一个数字，然后请一万名{\color{red}\textup{\textmd{人类}}}志愿者选择 1\sim100 的数字。统计这些数中和您选的相同的数字次数 \mathsf{cnt}，您获得 \mathsf{cnt}\times\mathsf{item.minecraft.nether\_star} 。

分析

这个游戏看起来和第一个问题一样玩了个寂寞，但是您可以选择心理热门数字，下面放一个统计

来源：Pick a number from 1-100: results from 6750 responses across various social media platforms [OC]

表格： https://docs.google.com/spreadsheets/d/1hG_25DCI2fMz210fCt84q-sVth3CNRBAT1OlT7zvKBk/edit?gid=1798635135#gid=1798635135

可以看到 69 这个数字在 6969 人随机选择下出现了 231 次！出现概率约 3.315\% 如果选择类似数字，是赚的。