【硬核】集合论 - 序数 - 第十三章 - ωMN&TωMN

adorablE_buttErfly · 2025-03-29 15:16:42 · 算法·理论

这是这一系列的第十三章，第十二章在这。

从这里开始，我们正式进入的大数前沿。

Mountain Notation 是由 Hypcos 在 2024 年发明的序数记号，它的名字的命名格式为 {限定词}[分隔符种类数（可能且大概率为序数）]Mountain Notation{版本号}，其中[]内为必填项，{}内为可选项。

1.5k 行了。

这里讲的是最初版本的 ωMN（即 ω Montain Notation）的简写。

这是把 ω-Y 的山脉图显式的表示出来并做一些简化的一个记号的一个记号，极限也和 ω-Y 相同——MHO。

我个人认为，ω-Y 之于 ωMN，就像 0-Y 之于 BMS。

ωMN 也是一个矩阵形式的表达式，他的形式一般是 (列_1)(列_2)\dots(列_n)，列的形式一般是 元素_1,元素_2,\dots,元素_m，元素的形式一般是 分隔符\ 数值。每列还额外存在位于行标 0 处。

请注意即使是一列中第一个元素，也有分隔符。

数值表示它向下伸出的左腿要到第几列，分隔符表示它和下一格的行标差（一定是 \omega^x 形式），在 ωMN 中，分隔符是 x 重逗号。

行标为一个 \omega 进制数列，记作 (a_k,a_{k-1},\dots,a_0)，行标加运算为行标和分隔符间的运算，(a_k,a_{k-1},\dots,a_0)+p\ 重逗号=(a_k,a_{k-1},\dots,a_{p+1},a_p+1,0,0,\dots,0)。

父元被定义为一个元素先沿右腿向上一格，再沿左腿向左下一步，就到达这个元素的父元。

祖先是父元、父元的父元等的集合，不含自身。

后代定义为祖先的逆运算。

右上角为最右列最上端的元素。

从右上角沿左腿走一步达到根元素。

根元素所在列为根列。

根列元素为在根元素及其下方的所有在根列上的元素。

一个根列元素的顶元素为比它靠上的第一个根列元素，如果这个根列元素是根元素，那么它所对应的顶元素是右上角元素。

一个根列元素的参考元素为在最右列的行标大于等于这个根列元素且小于这个根列元素对应的顶元素的元素。

一个根列元素的 magma 元素为它的同行后代。

复制区域为列标严格大于根列且小于等于最右列的元素。

复制宽度为最右列的列标减去根列列标。

这些都是可以轻松理解的，接下来的减一操作是第一个比较复杂的定义。

减一操作在 ω-Y 中就是单纯把末列减一，但是在 ωMN 中由于 ω-Y 的元素值并未保留，所以稍显麻烦。

流程如下：

1. 设右上角的分隔符是 k 重逗号。右上角沿左腿向左下走一步，到达行标 x；右上角沿右腿向下一格，到达行标 y。
2. 如果 k=1，则删掉右上角，然后跳过下一步。
3. 如果 x+(k-1)\ 重逗号<y，则删掉右上角，否则把右上角的分隔符从 k 重逗号改为 k-1 重逗号。
4. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

然后介绍展开规则：

1. 零规则：空矩阵为 0，若可以通过这种形式得到答案则结束展开。
2. 后继规则：如果最后一列为空，那么序数为去掉最后一列得到的序数加一，若可以通过这种形式得到答案则结束展开。
3. 进行减一操作并枚举每个复制区域元素。
4. 若待展开元素是 magma 元素跳第 8 步。（这步将会执行 \omega 次。）
5. 从待展开元素沿右腿向上一格，到达的元素是待复制的源元素。它只能复制成一个目标元素，目标元素的分隔符与源元素相同，若源元素的值大于等于根列的列标，跳过下一步。
6. 目标元素的值与源元素相等，跳过下一步。
7. 若这是第 m 次执行第 4 步，则目标元素的值比源元素大 wm，其中 w 为复制宽度，跳到第 11 步。
8. 从待展开元素沿右腿向上一格，到达的元素是待复制的源元素。它可能复制成一个或更多个目标元素。找到待展开元素所在行的根列元素，然后找到这个根列元素对应的参考元素。每个参考元素将得出一个目标元素。若这是第 m 次执行第 4 步，则目标元素的值比源元素大 wm，其中 w 为复制宽度。枚举每一个参考元素若其为最上端的参考元素，跳过下一步。
9. 沿右腿向上一格，到达一个元素，目标元素分隔符和这个元素一致。跳过下一步。
10. 目标元素的分隔符与源元素相同。
11. 回到第 4 步。

虽然规则看似很抽象，但是如果你去看它研究它的话你会发现基本上和 ω-Y 一致（除了减一操作）。

哎哎哎这一章怎么才两千字，这么水的吗？

再讲讲 ωMN 的弱扩展 TωMN 吧。

BMS 的时候没怎么讲 TBMS，这里大家可以详细看看 Transfinite 到底是个啥。

关于 TBMS 有几个规则需要修改。

分隔符是非空矩阵，分隔符中的分隔符也是非空矩阵……

元素的大小比较：两元素相比，先比其值，如果值不等，则得出结果；如果值相等，再比分隔符，分隔符的比较结果就是元素的比较结果。

列的大小比较：以元素为单位，按字典序比较。

矩阵的大小比较（也就是分隔符的大小比较）：以列为单位，按字典序比较。

减一操作流程如下：

1. 设右上角的分隔符是 M_1M_2\dots M_m()。右上角沿左腿向左下走一步，到达行标 x；右上角沿右腿向下一格，到达行标 y。
2. 如果 m=0，则删掉右上角，然后跳过下一步。
3. 如果 x+M_1M_2\dots M_m<y，则删掉右上角，否则把右上角的分隔符从 M_1M_2\dots M_m() 改为 M_1M_2\dots M_m。
4. 把根元素上方的元素（不含根元素）都复制到最右列上方。

其他操作不变。

关于 ωMN 的强度，我们已经有了 \omega MN()((k重逗号)1)=\omega-Y(1,k+1)，具体分析留给读者作为练习，我们接下来将会从 \omega-Y(1,3)=\omega MN()(,,1) 开始，扽到 \omega-Y(1,4)=\omega MN()(,,,1)。

以下左为 \omega-Y 右为 \omega MN。

ωMN 的极限表达式是 ()(,,,,,\dots1) 即 MHO，TωMN 的极限表达式是 ()(()(()((\dots)1)1)1)，即 EMHO。

ωMN 完。