浅谈 Lp 空间及其对偶

Gorenstein · 2025-01-27 11:19:19 · 算法·理论

我们将看到，$L^p$ 空间是完备的赋范线性空间（即 Banach 空间）。并且，若 $p,q$ 互为后文将介绍的共轭指数，则 $L^p,L^q$ 相对偶。最后，我们介绍 $L^p$ 空间中一些常用的积分不等式。 # $L^p$ 空间设 $(X,\mathcal M,\mu)$ 为测度空间，$f$ 为可测函数，$0<p<\infty$。定义 $$ \|f\|_p=\left[\int|f|^p\,d\mu\right]^{1/p}. $$ 记 $$ L^p(X,\mathcal M,\mu):=\{f:X\to\mathbb C:f\text{ measurable},\|f\|_p<\infty\}. $$ 若上下文无歧义则亦记作 $L^p(\mu),L^p(X)$ 或 $L^p$。若 $A$ 为非空集，记 $l^p(A)$ 表示 $L^p(\mu)$，其中 $\mu$ 为 $(A,\mathcal P(A))$ 上的计数测度。记 $l^p:=l^p(\mathbb N)$。首先观察到 $L^p$ 为线性空间，这是因为 $\forall f,g\in L^p$ 有 $$ |f+g|^p\leq(2\max(|f|,|g|))^p\leq 2^p(|f|^p+|g|^p). $$ 显然有 $\|f\|_p=0\iff f=0\text{ a.e.}$，且 $\|cf\|_p=|c|\|f\|_p$。我们将说明 $L^p$ 为赋范线性空间当且仅当 $p\geq 1$。首先，若 $0<p<1$ 则 $L^p$ 非赋范线性空间。设 $a>0,b>0,0<p<1$。对于 $t>0$ 有 $t^{p-1}\geq(a+t)^{p-1}$，从 $0$ 至 $b$ 积分得 $a^p+n^p\geq(a+b)^p$，即 $(a^p+b^p)^{1/p}\geq a+b$。于是设 $E,F$ 为不交的集合，有 $\mu(E)^p=\mu(E)$，则 $$ \|\chi_E+\chi_F\|=(\mu(E)+\mu(F))^{1/p}\geq\mu(E)^{1/p}+\mu(F)^{1/p}=\|\chi_E\|_p+\|\chi_F\|_p. $$ 欲说明 $p\geq 1$ 时 $\|\cdot\|_p$ 满足三角不等式，其关键是 Hölder 不等式。先给出如下引理。 **引理 1.1.**$\quad$若 $a\geq 0,b\geq 0,0<\lambda<1$，则 $$ a^{\lambda}b^{1-\lambda}\leq\lambda a+(1-\lambda)b, $$ 且当且仅当 $a=b$ 时取等。 **证明**$\quad$若 $b=0$ 则命题显然成立。若 $b\neq 0$，则两端除以 $b$，置 $t=a/b$，转化为证明 $t^{\lambda}\leq\lambda t+(1-\lambda)$，且当且仅当 $t=1$ 时取等。由初等微积分知 $f(t):=t^{\lambda}-\lambda t$ 在 $t=1$ 取到最大值，且 $f(1)=1\lambda$。这就证明了该引理。$\square

1.2 Hölder 不等式\quad设 1<p<\infty 且 p^{-1}+q^{-1}=1，f,g 为 X 上的可测函数，则

\|fg\|_1\leq\|f\|_p\|g\|_q.

特别地，若 f\in L^p,g\in L^q，则 fg\in L^1；不等式取等当且仅当 \exists(\alpha,\beta)\neq(0,0) 使得 \alpha|f|^p=\beta|g|^q\text{ a.e.}。

证明\quad当 \|f\|_p=0 或 \|g\|_q=0 或 \|f\|_p=\infty 或 \|g\|_p=\infty 时命题是平凡的。否则，若不等式对某个 f,g 成立，则它也对任意 \alpha f,\beta g 成立。因此不妨设 \|f\|_p=\|g\|_q=1，此时取等条件简化为 |f|^p=|g|^q\text{ a.e.}。设 a=|f(x)|^p,b=|g(x)|^q,\lambda=p^{-1}，运用 引理 6.1，得以下不等式（记作式 (1.4)）

|f(x)g(x)|\leq p^{-1}|f(x)|^p+q^{-1}|g(x)|^q.

两边积分，由 \|f\|_p=\|g\|_q=1 得

\|fg\|_1\leq p^{-1}\int|f|^p+q^{-1}\int|g|^q=p^{-1}+q^{-1}=1=\|f\|_p\|g\|_q.

其取等当且仅当式 (1.4) \text{a.e.} 成立，即 |f|^p=|g|^q\text{ a.e.}。\square

若 1<p<\infty，则使得 p^{-1}+q^{-1}=1 的数 q=p/(p-1)>1 称作 p 的共轭指数。

1.5 Minkowski 不等式\quad若 1\leq p<\infty 且 f,g\in L^p，则

\|f+g\|_p\leq\|f\|_p+\|g\|_p.

证明\quad当 p=1 或 f+g=0\text{ a.e.} 时结论显然。否则，观察到

|f+g|^p\leq(|f|+|g|)|f+g|^{p-1},

令 q 为 p 的共轭指数，注意到 (p-1)q=p，则运用 Hölder 不等式，两边积分得

\begin{aligned} \int|f+g|^p&\leq\int|f|\left|f+g\right|^{p-1}+\int|g|\left|f+g\right|^{p-1}\\ &\leq\|f\|_p\left\||f+g|^{p-1}\right\|_q +\|g\|_p\left\||f+g|^{p-1}\right\|_q\\ &=(\|f\|_p+\|g\|_p)\left(\int|f+g|^p\right)^{1/q}, \end{aligned}

于是

\quad\;\;\ \|f+g\|_p=\left[\int|f+g|\right]^{1/p}=\left[\int|f+g|\right]^{1-(1/q)}\leq\|f\|_p+\|g\|_p.\quad\square

**定理 1.6.**$\quad$设 $1\leq p<\infty$，则 $L^p$ 是 Banach 空间。 **证明**$\quad$已知赋范线性空间 $X$ 完备当且仅当任意绝对收敛的列皆收敛。设 $\{f_k\}\subset L^p$ 且 $\sum_1^{\infty}\|f_k\|_p=B<\infty$。令 $G_n=\sum_1^n|f_k|,G+\sum_1^{\infty}|f_k|$，则 $\forall n\in\mathbb N,\|G_n\|_p\leq\sum_1^{n}\|f_k\|_p\leq B$。故由单调收敛定理，$\int G^p=\lim\int G_n^p\leq B^p$，于是 $G\in L^p$。从而 $G(x)<\infty\text{ a.e.}$，从而 $\sum_1^{\infty}f_k$ 几乎处处收敛。记 $F=\sum_1^{\infty}f_k$，则 $|F|\leq G$，从而 $F\in L^p$；进一步，$|f-\sum_1^nf_k|^p\leq(2G)^p\in L^1$，从而由控制收敛定理 $$ \left\|F-\sum_{k=1}^nf_k\right\|_p^p=\int\Big|F-\sum_{k=1}^nf_k\Big|^p\to 0. $$ 从而 $\sum_1^{\infty}f_k$ 依 $L^p$ 范数收敛到 $F$。$\square

命题 1.7.\quad设 1\leq p<\infty。由 f=\sum_1^na_j\chi_{E_j},\,\mu(E_j)<\infty\,(\forall j\leq n) 构成的集合在 L^p 中稠密。

证明\quad设 f\in L^p，取简单函数列 \{f_n\} 使 f_n\to f\text{ a.e.} 且 |f_n|\leq f。则 f_n\in L^p,|f_n-f|^p\leq 2^p|f|^p\in L^1，从而由控制收敛定理得 \|f_n-f\|_p\to 0。进一步，设 f_n=\sum_1^na_j\chi_{E_j}，则 \sum|a_j|^p\mu(E_j)=\int|f_n|^p<\infty，从而 \forall j\leq n,\mu(E_j)<\infty。\square

定义

L^{\infty}(X,\mathcal M,\mu):=\inf\{a\geq 0:\mu(\{x:|f(x)|>a\})=0\}.

有时称 \|f\|_{\infty} 为 |f| 的本质上确界，记作

\|f\|_{\infty}\operatorname{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)|.

定义

L^{\infty}(X,\mathcal M,\mu):=\{f:X\to\mathbb C:f\text{ measurable},\|f\|_{\infty}<\infty\}.

按照惯例将 \text{a.e.} 相等的函数视作同一个，则 f\in L^{\infty} 当且仅当存在一个有界的可测函数 g 使得 f=g\text{ a.e.}；我们可取 g=f_{\chi_E}，其中 E=\{x:|f(x)|\leq\|f\|_{\infty}\}。

定理 1.8.

若 f,g 可测，则 \|fg\|_1\leq\|f_1\|\|g\|_{\infty} 当且仅当在 f(x)\neq 0 的集合上 \|g(x)\|=\|g\|_{\infty}\text{ a.e.}；
简单函数集在 L^{\infty} 中稠密。

一般而言，\forall p\neq q，我们有 L^p\not\subset L^q。譬如，考虑 (0,\infty) 上的 Lebesgue 测度，设 f_a(x)=x^{-a}，a>0，则 f_a\chi_{(0,1)}\in L^p 当且仅当 p<a^{-1}，而 f_a\chi_{(1,\infty)}\in L^p 当且仅当 p>a^{-1}。

命题 1.9.\quad设 0<p<q<r\leq\infty，则 L^q\subset L^p+L^r。

证明\quad设 f\in L^q,E=\{x:|f(x)|>1\}，则显然 f\chi_E\in L^p 而 f\chi_{E^c}\in L^r，得证。\square

命题 1.10.\quad设 0<p<q<r\leq\infty，则 L^p\cap L^r\subset L^q，且 \|f\|_q\leq\|f\|_p^{\lambda}\|f\|_r^{1-\lambda}，其中 \lambda\in(0,1) 被定义为

q^{-1}=\lambda p^{-1}+(1-\lambda)r^{-1},\text{\;that is,}\,\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}.

命题 1.11.\quad设 A 为任意集合，0<p<q\leq\infty，则 l^p(A)\subset l^q(A) 且 \|f\|_q\leq\|f\|_p。

命题 1.12.\quad若 \mu(X)<\infty,0<p,q\leq\infty，则 L^p(\mu)\supset L^q(\mu) 且 \|f\|_p\leq\|f\|_q\mu(X)^{(1/p)-(1/q)}。

L^p 空间的对偶

设 p,q 互为共轭指数，则对于任意 g\in L^q 都能在 L^p 上定义一个有界线性泛函

\phi_g:f\longmapsto\int fg.

由 Hölder 不等式知 \left|\int fg\right|\leq\|f\|_p\|g\|_q，于是 \phi_g 的算子范数不超过 \|g\|_q。事实上，映射 g\mapsto\phi_g 几乎总是从 L^q 至 (L^p)^{*} 的等距映射。

命题 2.1.\quad设 p,q 为共轭指数，1\leq q<\infty,g\in L^q。则

\|\phi_g\|=\|g\|_q=\sup\left\{\Big|\int fg\Big|:\|f\|_p=1\right\}.

且若 \mu semi-有限，则上式对 q=\infty 亦成立。

证明\quad显然 \|\phi_g\|\leq\|g\|_q。若 g=0 则命题显然成立；否则若 q<\infty，令

f=\frac{|g|^{q-1}\overline{\operatorname{sgn}g}}{\|g\|_q^{q-1}},

则

\|f\|_p^p=\frac{1}{\|g\|_q^{(q-1)p}}\int|g|^{(q-1)p}=\frac{\int|g|^q}{\int|g|^q}=1,

于是

\|\phi_g\|\geq\int fg=\frac{1}{\|g\|_q^{q-1}}\int|g|^q=\|g\|_q.

若 q=\infty，则 \forall\epsilon>0，令 A=\{x:|g(x)|<\|g\|_{\infty}-\epsilon\}，则 \mu(A)>0。由于 \mu semi-有限，\exists B\subset A 使得 \mu(B)<\infty。令 f=\mu(B)^{-1}\chi_B\overline{\operatorname{sgn}g}，则 \|f\|_1=1，于是

\|\phi_g\|\geq\int fg=\frac{1}{\mu(B)}\int_B|g|\geq\|g\|_{\infty}-\epsilon.

由于 \epsilon 是任取的，\|\phi_g\|=\|g\|_{\infty}。\square

反过来，若 f\mapsto\int fg 为 L^p 上有界的线性泛函，则几乎必有 g\in L^q。看下面这个定理。

定理 2.2.\quad设 p,q 互为共轭指数，g 在 X 上可测，设 \Sigma 为所有在一个测度有限的集合 E 外消失的简单函数的集合。若 \forall f\in\Sigma 都有 fg\in L^1；且

M_q(g):=\sup\left\{\Big|\int fg\Big|:f\in\Sigma,\|f\|_p=1\right\}

有限；且或者 S_g:=\{x:g(x)\neq 0\} \sigma-有限，或者 \mu semi-有限：则 g\in L^q 且 M_q(g)=\|g\|_q。

证明\quad首先由控制收敛定理得，若 f 可测、在 E 外消失且 \|f\|_p=1，则 |\int fg|\leq M_q(g)。

设 q<\infty 且 S_g \sigma-有限。设 \{E_n\}v 为递增的测度有限的集合且 S_g=\bigcup_1^{\infty}E_n，\{\phi_n\} 为一列简单函数，|\phi_n|\leq|g|，且逐点 \phi_n\to g；设 g_n=g\chi_E。令

f=\frac{|g_n|^{q-1}\overline{\operatorname{sgn}g}}{\|g_n\|_q^{q-1}},

则 \|f_n\|_p=1。由 Fatou 引理得

\begin{aligned} \|g\|_q&\leq\liminf\|g_n\|_q=\liminf\int|f_ng_n|\\ &=\liminf\int|f_ng|=\liminf\int f_ng\leq M_q(g). \end{aligned}

另一方面，Hölder 不等式指出 M_q(g)\leq\|g\|_q。从而我们完成了 q<\infty 时的证明。

若 q=\infty，对于 \epsilon>0，设 A=\{x:|g(x)|\geq M_{\infty}(g)+\epsilon\}。若 \mu(A) 为正，则可取 B\subset A 使得 \mu(B)<\infty，于是令 f=\mu(B)^{-1}\chi_B\overline{\operatorname{sgn}g}，则 \|f\|_1=1,\int fg=\mu(B)^{-1}\int_B|g|\geq M_{\infty}(g)+\epsilon，而这是不可能的。于是 \mu(A) 只能为零，故 \|g\|_{\infty}\leq M_{\infty}(g)。反向的不等式显然。\square

映射 g\mapsto\phi_g 几乎总是满的。

定理 2.3.\quad设 1<p<\infty,p^{-1}+q^{-1}=1。\forall\phi\in(L^p)^*,\exists g\in L^q\text{ s.t. }\forall f\in L^p,\phi(f)=\int fg，即 g\mapsto\phi_g 为 L^q 至 (L^p)^* 的等距同构，(L^p)^*\cong L^q。若 \mu \sigma-有限，则 L^{\infty}\cong(L^1)^*。

证明\quad先假设 \mu 有限，则任意简单函数皆在 L^p 中。若 \phi\in(L^p)^* 而 E 为一可测集，令 \nu(E)=\phi(\chi_E)。设 E=\bigcup_1^{\infty}E_j，其中 \{E_j\} 为不交的可测集。在 L^p 范数下，当 n\to\infty 时有

\begin{aligned} \bigg\|\chi_E-\sum_{j=1}^n\chi_{E_j}\bigg\|_p=\bigg\|\sum_{n+1}^{\infty}\chi_{E_j}\bigg\|_p=\mu\bigg(\bigcup_{n+1}^{\infty}E_j\bigg)^{1/p}\longrightarrow 0. \end{aligned}

即 \big(\sum_1^n\chi_{E_j}\big)_{n\in\mathbb N}依范数收敛到 \chi_E。因 \phi 线性且连续，得

\nu(E)=\sum_{j=1}^{\infty}\phi(\chi_{E_j})=\sum_{j=1}^{\infty}\nu(E_j),

从而 \nu 为复测度。若 \nu(E)=0 则 \nu(E)=\phi(\chi_{E})=0，从而 \nu\ll\mu。则由 Radon-Nikodym 定理，\exists g\in L^1(\nu) 使 \forall E\in\mathcal M,\phi(\chi_E)=\nu(E)=\int_E g\,d\mu。于是对任意简单函数 f 有 \phi(f)=\int fg\,d\mu。进一步有 |\int fg|\leq\|\phi\|\|f\|_p，则由 定理 2.2，g\in L^q。从而由 定理 1.7，对任意 f\in L^p 都有 \phi(f)=\int fg。

现在假设 \mu \sigma-有限。设 \{E_n\} 为递增的集合，0<\mu(E_n)<\infty，且 X=\bigcup_1^{\infty}E_n。记 L^p(E_n),L^q(E_n) 为 L^p(X),L^q(X) 的由所有取值在 E_n 外消失的函数构成的子集。上述过程指出，\forall n\in\mathbb N,\exists g_n\in L^q(E_n)\text{ s.t. }\forall f\in L^p(E_n) 都有 \phi(f)=\int fg_n，且 \|g_n\|_q=\|\phi_{\mid L^p(E_n)}\|\leq\|\phi\|。进一步，显然 \forall (n,m)\in\mathbb N^2\text{ s.t. }n<m 都有 (g_n)_{|E_n}=(g_m)_{|E_n}\text{ a.e.}。于是在每个 E_n 上令 g=g_n，我们在 X 上定义了 g\text{ a.e.}。由单调收敛定理，\|g\|_q=\lim\|g_n\|_q\leq\|\phi\|，于是 g\in L^q。进一步，若 f\in L^p，则 f\chi_E 依 L^p 范数收敛至 f。从而由控制收敛定理，\phi(f)=\lim\phi(f\chi_{E_n})=\lim\int_{E_n} fg=\int fg。

最后，设 \mu 是任意的测度。令 M:=\sup\{\|g_E\|_q:E\ \sigma\text{-finite}\}\leq\|\phi\|。取 \sigma-有限的 \{E_n\} 使得 \|g_{E_n}\|_q\to M，令 F=\bigcup_1^nE_n，则 F \sigma-有限且 \|g_F\|_{q}=M。对任意 \sigma 有限的集合 A\supset E，都有

\int|g_F|^q+\int|g_{A\setminus E}|^q=\int|g_A|^q\leq M^q=\int|g_F|^q,

于是 g_A=g_F\text{ a.e.}。注意到，若 f\in L^p，则 A=F\cup\{x:f(x)\neq 0\} \sigma-有限，于是 \phi(f)=\int fg_A=\int fg_E。故取 g=g_F 即完成证明。\square

推论 2.4.\quad若 1<p<\infty，则 L^p 是自反空间。

积分不等式

3.1 Chebyshev 不等式\quad设 f\in L^p\,(0<p<\infty)，则对任意 \alpha>0，都有

\mu\big(\{x:|f(x)|>\alpha\}\big)\leq\left[\frac{\|f\|_p}{\alpha}\right]^p.

证明\quad令 E_{\alpha}=\{x:|f(x)|>\alpha\}。则

\quad\;\;\,\|f\|_p^p=\int|f|^p\geq\int_{E_\alpha}|f|^p\geq\alpha^p\int_{E_\alpha}1=\alpha^p\mu(E_{\alpha}).\quad\square

定理 3.2.\quad设 (X,\mathcal M,\mu),(Y,\mathcal N,\nu) 为 \sigma-有限的测度空间，K 为 (\mathcal M\otimes\mathcal N)-可测的函数。设存在 C>0 使得 \int|K(x,y)|\,d\mu(x)\leq C 对于 \text{a.e. }y\in Y 成立，且 \int|K(x,y)|\,d\mu(x)\leq C\text{ a.e. }x\in X；设 1\leq p\leq\infty，则积分

Tf(x):=\int K(x,y)f(y)\,d\nu(y)

对于 \text{a.e. }x\in X 绝对收敛，Tf\in L^p(\mu)，且 \|Tf\|_p\leq C\|f\|_p。

证明\quad设 1<p<\infty，记 q 为其共轭指数，则

|K(x,y)f(y)|=|K(x,y)|^{1/q}\big(|K(x,y)|^{1/p}|f(y)|\big),

于是由 Hölder 不等式得

\begin{aligned} \int|K(x,y)f(y&)|\,d\nu(y)=\int|K(x,y)|^{1/q}\big(|K(x,y)|^{1/p}|f(y)|\big)\,d\nu(y)\\ &\leq\left[\int|K(x,y)|\,d\nu(y)\right]^{1/q}\left[\int\left|K(x,y)\right||f(y)|^p\,d\nu(y)\right]^{1/p}\\ &\leq C^{1/q}\left[\int\left|K(x,y)\right||f(y)|^p\,d\nu(y)\right]^{1/p} \end{aligned}

对 \text{a.e. }x\in X 成立。于是由 Tonelli 定理得

\begin{aligned} \|Tf\|_p^p&=\int\left[\int|K(x,y)f(y)|\,d\nu(y)\right]^p\,d\mu(x)\\ &\leq C^{p/q}\iint\left|K(x,y)\right||f(y)|^p\,d\nu(y)\,d\mu(x)\\ &\leq C^{(p/q)+1}\int|f(y)|^p\,d\nu(y)=C^{(p/q)+1}\|f\|_p^{p}, \end{aligned}

其中最后一个等号后的值有限，于是 Fubini 定理蕴含 K(x,\cdot)f\in L^1(\nu)\text{ a.e. }x\in X，于是 Tf\text{ a.e. } 良定义，且

\|Tf\|_p\leq C\|f\|_p.

当 p=1 或 p=\infty 时证明显然。\square

3.3. Minkowski 积分不等式\quad设 (X,\mathcal M,\mu),(Y,\mathcal N,\nu) 为 \sigma-有限的测度空间，f 为 (\mathcal M\otimes\mathcal N)-可测的函数。

若 f\geq 0 且 1\leq p<\infty，则 \left[\int\left(\int f(x,y)\,d\nu(y)\right)^p\,d\mu(x)\right]^{1/p}\leq\int\left[\int f(x,y)^p\,d\mu(x)\right]^{1/p}\,d\nu(y).
若 1\leq p\leq\infty,f(\cdot,y)\in L^p(\mu)\text{ a.e. }x，且函数 y\mapsto\|f(\cdot,y)\|_p\in L^1(\nu)，则 f(x,\cdot)\in L^1(\nu)\text{ a.e. }x，且函数 x\mapsto\int f(x,y)\,d\nu(y)\in L^p(\mu)，且
\left\|\int f(x,y)\,d\nu(y)\right\|_p\leq\int\|f(x,y)\|_p\,d\nu(y).

证明\quad当 p=1 时就是 Tonelli 定理。若 1<p<\infty，令 q 为 p 的共轭指数，g\in L^q(\mu)。由 Tonelli 定理与 Hölder 不等式得

\begin{aligned} \int\left[\int f(x,y)\,d\nu(y)\right]&\,|g(x)|\,d\mu(x)\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\iint f(x,y)|g(x)|\,d\mu(x)\,d\nu(y)\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\leq\|g\|_q\int\left[\int|f(x)|^p\,d\mu(x)\right]^{1/p}\,d\nu(y). \end{aligned}

因 g 是任意的，由 定理 2.2，不等式 (1) 得证。进一步，当 1\leq p<\infty 时，由 Fubini 定理，不等式 (2) 得证；当 p=\infty 时命题显然。\square

定理 3.4.\quad设 K 为 (0,\infty)\times(0,\infty) 上的 Lebesgue 可测函数使得 \forall\lambda>0,K(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{-1}K(x,y) 且 \exists p\in[1,\infty],\int_0^{\infty}|K(x,1)|x^{-1/p}\,dx=C<\infty。令 q 为上述 p 的共轭指数。对于 f\in L^p 与 g\in L^q，令

Tf(y)=\int_0^{\infty}K(x,y)f(x)\,dx,\qquad Sg(x)=\int_0^{\infty}K(x,y)g(y)\,dy,

则 Tf 与 Sg \text{a.e.} 定义，\|Tf\|_p\leq C\|f\|_p，且 \|Sg\|_q\leq C\|g\|_q。

证明\quad令 z=x/y,f_z(y)=f(yz)，易得

\int_0^{\infty}|K(x,y)f(x)|\,dx=\int_0^{\infty}|K(x,1)f_z(y)|\,dz.

进一步易知

\|f_z\|_p=\left[\int_0^{\infty}|f(yz)|^p\,dy\right]^{1/p}=\left[\int_0^{\infty}|f(x)|^pz^{-1}\,dx\right]^{1/p}=z^{-1/p}\|f\|_p,

于是由 Minkowski 积分不等式得

\begin{aligned} \|Tf\|_p&=\left\|\int_0^{\infty}K(z,1)f_z(y)\,dz\right\|_p\leq\int_0^{\infty}\|K(z,1)f_z(\cdot)\|_p\,dz\\ &=\|f\|_p\int_0^{\infty}|K(z,1)|z^{-1/p}\,dz=C\|f\|_p. \end{aligned}

最后，令 u=y^{-1}，有

\begin{aligned} \int_0^{\infty}|K(1,y)|y^{-1/q}\,dy&=\int_0^{\infty}|K(y^{-1},1)|y^{-1-(1/q)}\,dy\\ &=\int_0^{\infty}|K(u,1)|y^{-1/p}\,du=C, \end{aligned}

于是同理得 \|Sg\|_q\leq C\|g\|_q。\square

推论 3.5.\quad令

Tf(x)=y^{-1}\int_0^yf(x)\,dx,\qquad Sg(x)=\int_x^{\infty}y^{-1}g(y)\,dy.

则对于任意 1<p\leq\infty 与任意 1\leq q<\infty 有

\|Tf\|_p\leq\frac{p}{p-1}\|f\|_p,\qquad\|Sg\|_q\leq q\|g\|_q.

证明\quad令 K(x,y)=y^{-1}\chi_E(x,y)，其中 E=\{(x,y):x<y\}，则 \int_0^{\infty}|K(x,1)|x^{-1/p}\,dx=\int_0^1x^{-1/p}\,dx=p/(p-1)。取共轭指数则 p 与 q 一一对应，则二不等式由前一定理一并立即得证。\square