数的拆分

· · 题解

首先将 a 进行素因子分解 p_1^{q_1} p_2^{q_2}...... p_n^{q_n}

∀q_i\geq2$,要拆分成 $k_1 \times y_1 + k_2 \times y_2 = q_i,k_1,k_2\geq0,y_1,y_2\geq2 所以问题就被我们转换为： $a$ 能否变为 $t_1^2t_2^3

因为 a\leq10^{18} 所以 t_1^2t_2^3\leq10^{18} 。

所以只需要暴力判断 4000 以内的素因子，对于大于 4000 的 p ，指数只可能是 2 , 3 , 4 ，即判断一下是否为平方数或者立方数即可。

时间复杂度 O(T)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
template <typename T>
inline T read(T& x) {
  x = 0;
  T w = 1;
  char ch = 0;
  while (ch < '0' || ch > '9') {
    if (ch == '-') w = -1;
    ch = getchar();
  }
  while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    x = x * 10 + (ch - '0');
    ch = getchar();
  }
  return x * w;
}

bool not_prime[4010];
int prime[4010], tot;
void init(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i++)if(!not_prime[i])
    {
        prime[++tot] = i;
        for(int j = i + i; j <= n; j += i)
            not_prime[j] = 1;
    }
}
inline bool check(ll x)
{
    ///检查平方数
    ll y = pow(x, 0.5);
    if(y * y == x || (y + 1) * (y + 1) == x)
        return true;
    ///检查立方数
    y = pow(x, 1.0 / 3);
    if(y * y * y == x || (y + 1) * (y + 1) * (y + 1) == x || (y + 2) * (y + 2) * (y + 2) == x)
        return true;
    return false;
}
int main()
{
    init(4000);
    int T;
    read(T);
    while(T--)
    {
        ll x;
        read(x);
        if(check(x))
        {
            puts("yes");
            continue;
        }
        bool flag = true;
        for(int i = 1; i <= tot; i++)if(x % prime[i] == 0){
            int now = 0;
            while(x % prime[i] == 0)
            {
                now++;
                x /= prime[i] ;
            }
            ///cout<<prime[i]<<" "<<now<<endl;
            if(now == 1)
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if(flag & check(x))
        {
            puts("yes");
            continue;
        }
        else
        {
            puts("no");
        }
    }
    return 0;
}