行列式入门
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算法·理论
观前提示：读者应掌握按一行/列展开行列式的方法，若不清楚请自行搜索资料学习。
本文仅用于研究归纳法对行列式常见性质的证明，并没有提到行列式真正的定义式，仅供参考。
约定记号
设 A 是 n \times n 矩阵，其第 i 行第 j 列的数为 a_{ij}。
行列式 $\det(A)$ 按如下**递归定义**：
- 当 $n = 1$ 时，
$$
\det(A) = a_{11}.
$$
- 当 $n \ge 2$ 时，按第一行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}),
$$
其中 $M_{1j}$ 表示删去 $A$ 的第 $1$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵（称为余子式）。
以下对性质的证明都会使用上课讲的方法（归纳法），即从基本形式逐步扩充。
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## Property 1.1
::::info[Property 1.1]{open}
若 $A$ 是上三角矩阵，即当 $i > j$ 时 $a_{ij} = 0$，则
$$
|A| = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.
$$
对下三角矩阵（当 $i < j$ 时 $a_{ij}=0$）同理。
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::::info[Proof 1.1 - Basic]{open}
首先考虑 $n=1$：
$$
\det(a_{11})=a_{11}
$$
公式成立。
::::
::::info[Proof 1.1 - Extension]{open}
不妨假设对所有阶数 $< n$ 的上三角矩阵，行列式都等于主对角线元素乘积。
设 $A$ 为 $n$ 阶上三角矩阵：
$$
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}).
$$
注意到当 $j>2$ 时的乘积均为 $0$，因此只有 $j = 1$ 项保留：
$$
\det(A) = a_{11} \det(M_{11}).
$$
矩阵 $M_{11}$ 是删去第 $1$ 行第 $1$ 列后的子矩阵，它仍是上三角，主对角线为 $a_{22}, a_{33}, \dots, a_{nn}$。
由归纳假设：
$$
\det(M_{11}) = a_{22} a_{33} \cdots a_{nn}.
$$
于是：
$$
\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.
$$
::::
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## Property 1.2
::::info[Property 1.2]{open}
若存在某行 $k$ 使得 $a_{k1} = a_{k2} = \cdots = a_{kn} = 0$，则 $\det(A) = 0$。
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::::info[Proof 1.2 - Basic]{open}
若 $a_{11} = 0$，则 $\det\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} = 0$，成立。
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::::info[Proof 1.2 - Extension]{open}
不妨假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，若某一行全为零，则行列式为 $0$。
按全 $0$ 行 $k$ 分类讨论：
- 若 $k=1
按第一行展开。
\begin{aligned}
\det(A) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j})\\ &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} \cdot 0 \cdot \det(M_{1j})\\ &= 0.
\end{aligned}
因此：
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \cdot 0 = 0.
证毕。
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Property 1.3
::::info[Property 1.3]{open}
设 B 是将矩阵 A 的第 k 行所有元素乘以常数 c 后得到的矩阵，则有
\det(B) = c \cdot \det(A).
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::::info[Proof 1.3 - Basic]{open}
当 n=1 时，我们令 A=(a_{11})，B=(c\cdot a_{11})，则有
\det(B) = c a_{11} = c \det(A).
该性质成立。
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::::info[Proof 1.3 - Extension]{open}
不妨假设对所有阶数 < n 的矩阵，性质都成立。
设被操作的行是第 k 行，按 k 分类讨论。
-
按第一行展开 $B$：
$$
\det(B) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} (c a_{1j}) \det(M_{1j}^B).
$$
这里 $M_{1j}^B$ 是删去 $B$ 的第一行和第 $j$ 列得到的子矩阵。由于只修改了第一行且第一行被删去，$M_{1j}^B = M_{1j}^A$。
因此：
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= c \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A)\\ &= c \det(A).
\end{aligned}
$$
-
按第一行展开 $B$：
$$
\det(B) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} b_{1j} \det(M_{1j}^B),
$$
其中 $b_{1j} = a_{1j}$（第一行未变），子矩阵 $M_{1j}^B$ 是从 $B$ 删去第一行和第 $j$ 列后得到的 $n-1$ 阶行列式。
在 $M_{1j}^B$ 中，原来的第 $k$ 行（已乘 $c$）变成了第 $k-1$ 行，且该行每个元素是原 $A$ 中对应元素的 $c$ 倍。
由归纳假设（对 $n-1$ 阶矩阵）：
$$
\det(M_{1j}^B) = c \cdot \det(M_{1j}^A).
$$
代入得：
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \cdot \big( c \det(M_{1j}^A) \big)\\ &= c \det(A).
\end{aligned}
$$
::::
Property 1.4
::::info[Property 1.4]{open}
若矩阵 B 是将 A 的第 p 行与第 q 行互换（p \neq q）后得到的矩阵，则
\det(B) = -\det(A).
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::::info[Proof 1.4 - Basic]{open}
当 n = 2 时，设
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad
B = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}.
则 \det(A) = ad - bc，\det(B) = cb - da = -\det(A)。性质成立。
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::::info[Proof 1.4 - Extension]{open}
不妨假设对所有阶数 < n 的矩阵，互换两行后行列式变号。
设 p < q，按第一行展开 A：
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A).
考虑 B 的展开，分三种情况：
-
若 1 \neq p, q
第一行未动，子矩阵 M_{1j}^B 是由 M_{1j}^A 互换第 p-1 行与第 q-1 行得到（因为删去第一行后行号减 1）。
由归纳假设：
\det(M_{1j}^B) = -\det(M_{1j}^A).
代入展开式得 \det(B) = -\det(A)。
-
若 1 = p（即第一行参与互换）
此时 p = 1，q > 1。B 的第一行是 A 的第 q 行。
按第一行展开 B：
\det(B) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{qj} \det(M_{1j}^B).
子矩阵 M_{1j}^B 删去了 A 的第 q 行和第 j 列，但未删第 1 行。
可以将 M_{1j}^B 视为从 M_{qj}^A（删 A 的第 q 行第 j 列）通过若干次行互换得到，具体地，将第 1 行（原第 1 行）上移到第 q-1 行需 q-2 次相邻互换。
经计算可得符号变化为 (-1)^{q-2}。
同时 (-1)^{1+j} 与 (-1)^{q+j} 差 (-1)^{q-1}。
最终有：
\det(B) = -\sum_{j=1}^n (-1)^{q+j} a_{qj} \det(M_{qj}^A) = -\det(A).
-
若 1 = q 同理。
综上，对所有情形 \det(B) = -\det(A)。
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Property 1.5
::::info[Property 1.5]{open}
若矩阵 A 存在两行成比例（即存在 p \neq q 及常数 c 使得第 q 行 = c \times 第 p 行），则
\det(A) = 0.
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::::info[Proof 1.5 - Basic]{open}
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ ca & cb \end{pmatrix},
$$
则
$$
\det(A) = a \cdot cb - b \cdot ca = abc - abc = 0.
$$
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::::info[Proof 1.5 - Extension]{open}
不妨假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，若两行成比例则行列式为 $0$。
设第 $q$ 行 = $c \times$ 第 $p$ 行。
- **若 $c = 0$**
第 $q$ 行为全零行，由 Property 1.2 得 $\det(A) = 0$。
- **若 $c \neq 0$**
令 $B$ 为将第 $q$ 行乘以 $1/c$ 得到的矩阵。
由 Property 1.3：
$$
\det(B) = \frac{1}{c} \det(A).
$$
但 $B$ 的第 $q$ 行 = 第 $p$ 行，即两行完全相同。
将 $B$ 的第 $p$ 行与第 $q$ 行互换得 $B$ 自身，由 Property 1.4：
$$
\det(B) = -\det(B) \implies \det(B) = 0.
$$
因此 $\det(A) = c \cdot 0 = 0$。
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## Property 1.6
::::info[Property 1.6]{open}
设 $A$ 的第 $k$ 行元素满足 $a_{kj} = b_{kj} + c_{kj}$（$j = 1, \dots, n$），其余行与 $B, C$ 相同，且 $B, C$ 分别以 $b_{kj}, c_{kj}$ 作为第 $k$ 行，则
$$
\det(A) = \det(B) + \det(C).
$$
::::
::::info[Proof 1.6 - Basic]{open}
$n = 1$ 时：
$$
\det(a_{11}) = a_{11} = b_{11} + c_{11} = \det(b_{11}) + \det(c_{11}).
$$
::::
::::info[Proof 1.6 - Extension]{open}
假设对阶数 $< n$ 成立。
- **若 $k = 1$**
按第一行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} (b_{1j} + c_{1j}) \det(M_{1j}^A).
$$
由于删去第一行后，$M_{1j}^A = M_{1j}^B = M_{1j}^C$（其余行未变），故：
$$
\begin{aligned}
\det(A) &= \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} b_{1j} \det(M_{1j}^B) + \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} c_{1j} \det(M_{1j}^C) \\
&= \det(B) + \det(C).
\end{aligned}
$$
- **若 $k > 1$**
按第一行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}^A).
$$
在子矩阵 $M_{1j}^A$ 中，原来的第 $k$ 行变为第 $k-1$ 行，且该行元素为 $b_{kj} + c_{kj}$。
由归纳假设（对 $n-1$ 阶）：
$$
\det(M_{1j}^A) = \det(M_{1j}^B) + \det(M_{1j}^C).
$$
代入得：
$$
\det(A) = \det(B) + \det(C).
$$
::::
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## Property 1.7
::::info[Property 1.7]{open}
设 $B$ 是将 $A$ 的第 $p$ 行乘以常数 $c$ 后加到第 $q$ 行（$p \neq q$）得到的矩阵，则
$$
\det(B) = \det(A).
$$
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::::info[Proof 1.7 - Basic]{open}
$n = 2$ 时，设
$$
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad
B = \begin{pmatrix} a & b \\ c + \lambda a & d + \lambda b \end{pmatrix}.
$$
则
$$
\begin{aligned}
\det(B) &= a(d + \lambda b) - b(c + \lambda a) \\
&= ad + \lambda ab - bc - \lambda ab \\
&= ad - bc = \det(A).
\end{aligned}
$$
::::
::::info[Proof 1.7 - Extension]{open}
假设对阶数 $< n$ 成立。
令 $C$ 为将 $A$ 的第 $q$ 行替换为第 $p$ 行（其余行不变）得到的矩阵，则 $C$ 有两行相同（第 $p$ 行与第 $q$ 行）。
由 Property 1.5 得 $\det(C) = 0$。
注意 $B$ 的第 $q$ 行 = $A$ 的第 $q$ 行 + $c \times A$ 的第 $p$ 行。
由 Property 1.6（按第 $q$ 行分解）：
$$
\det(B) = \det(A) + c \cdot \det(C).
$$
因为 $\det(C) = 0$，所以：
$$
\det(B) = \det(A).
$$
证毕。
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## Property 1.8
::::info[Property 1.8]{open}
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^{\mathsf{T}}$ 为其转置矩阵（即 $(A^{\mathsf{T}})_{ij} = a_{ji}$），则
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A).
$$
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::::info[Proof 1.8 - Basic]{open}
$n = 1$ 时显然成立。
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::::info[Proof 1.8 - Extension]{open}
假设对所有阶数 $< n$ 的矩阵，转置后行列式值不变。
按第一行展开 $\det(A^{\mathsf{T}})$：
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} (A^{\mathsf{T}})_{1j} \det(M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}}).
$$
由转置定义，$(A^{\mathsf{T}})_{1j} = a_{j1}$。
子矩阵 $M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}}$ 是删去 $A^{\mathsf{T}}$ 的第 $1$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶矩阵。注意到删去 $A^{\mathsf{T}}$ 的第 $1$ 行相当于删去 $A$ 的第 $1$ 列，删去 $A^{\mathsf{T}}$ 的第 $j$ 列相当于删去 $A$ 的第 $j$ 行，因此
$$
M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}} = (M_{j1}^{A})^{\mathsf{T}},
$$
其中 $M_{j1}^{A}$ 是删去 $A$ 的第 $j$ 行和第 $1$ 列后得到的子矩阵。
由归纳假设（对 $n-1$ 阶矩阵）：
$$
\det(M_{1j}^{A^{\mathsf{T}}}) = \det(M_{j1}^{A}).
$$
于是
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{j1} \det(M_{j1}^{A}).
$$
现在按第一列展开 $\det(A)$：
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_{i1} \det(M_{i1}^{A}).
$$
比较两式，右边完全一致（将求和指标 $j$ 换为 $i$ 即得），因此
$$
\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A).
$$
证毕。
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