我怎么又胡错简单题了 /ll。

lzyqwq · 2025-05-22 19:04:09 · 题解

书接上回。

• 给出 n 个点的树。初始所有点都是白色，你要支持 q 次操作：
  • 1 u：翻转 u 的颜色。
  • 2 u v：记当前黑点集合为 S，求 \min\limits_{x\in S}(\text{dis}(u,x)+\text{dis}(x,v))。

你谷首杀。

题中还保证了只会 1 u 只会操作叶子结点，但是我感觉这个条件没什么用。应该只是为了契合原题意。

以 1 为根。记 d_u 为 u 的深度，f_u 为 u 的父亲结点，T_u 为以 u 为根的子树内的点构成的集合。那么查询的式子可以化成：

显然只需要最小化括号里的式子。注意到这个 LCA 不是很好处理，所以最暴力的想法是考虑枚举 \text{LCA}(u,x)。

不妨认为 d_u\ge d_v。记 [p_1=1,\dots,p_k=u],k=d_u+1 为 1 到 u 的路径。首先求出 \text{LCA}(u,v)=p_a，记枚举的 \text{LCA}(u,x)=p_i。有三种大情况。

Case 1：i\in [a+1,k]。

在这种情况下，\text{LCA}(v,x)=\text{LCA}(u,v)。查询的式子化成 d_x-d_{p_i}-d_{p_a}。

若 i=k，则只要求 x\in T_u。用 dfn 序刻画子树，求出这个范围内黑点深度的最小值即可。用线段树维护黑点的深度。

否则对于 i\in [a+1,k)，要求 x\in T_{p_i} 且 x\notin T_{p_{i+1}}。考虑重链剖分，那么只有 \mathcal{O}(\log n) 条重链。对于这些重链的底端的点单独用线段树求限制区域内黑点深度的最小值。对于剩余的 p_i，一定满足 p_{i+1} 是 p_i 的重儿子，考虑维护 g_u 表示 u 子树内且不在 u 重儿子子树内的黑点的 d_x-d_u 最小值。那么对于每一条重链要求除去其底端的点中 g_{p_i} 的最小值。这个区域是重链的前缀，同样是一段连续的 dfn 区间，用线段树维护 g_u 即可。

Case 2：i=a。

我一开始以为这种情况下同样有 \text{LCA}(v,x)=\text{LCA}(u,v)，但事实证明我是唐龙。

如果 v\ne p_a，那么此时要求 x\in T_{p_a} 且 x\notin T_{p_{a+1}}。再记 [m_1=1,\dots,m_t=v],t=d_v+1 表示 1 到 v 的路径。根据 \text{LCA} 的性质有 \forall\,i\in[1,a],p_i=m_i。那么又有两种情况。

当 x\in T_{m_{a+1}} 时，此时不满足 \text{LCA}(v,x)=\text{LCA}(u,v)，并且此时 \text{LCA}(v,x)\in \{m_{a+1},\dots,m_t\}。那么还需要类似 Case 1 那样在这个范围内考虑每一个点作为 \text{LCA}(v,x)。

否则就会满足 \text{LCA}(v,x)=\text{LCA}(u,v)，只需要求 x\in T_{p_a} 且 x\notin T_{p_{a+1}} 且 x\notin T_{m_{a+1}} 范围内黑点深度的最小值。容易用 \mathcal{O}(1) 个 dfn 区间的并表示这个区间，线段树查询即可。

如果 v=p_a，无论如何都会满足 \text{LCA}(v,x)=\text{LCA}(u,v)。此时只需要求 x\in T_{p_a} 且 x\notin T_{p_{a+1}} 范围内黑点深度的最小值，同样容易求出。

Case 3：i\in [1,a-1]。

此时 \text{LCA}(v,x)=\text{LCA}(u,x)。查询的式子变成 d_x-2d_{p_i}。

类似 Case 1，对于重链底端结点单独用线段树求出限制区域内黑点深度最小值。对于剩余的情况维护 h_u 表示在 u 子树内且不在 u 重儿子子树内的黑点 d_x-2d_u 的最小值，线段树维护 h_u，查询一段重链前缀的 h_{p_i} 最小值。

接下来考虑带上修改，你发现对于 u 的修改而言，只有 1 到 u 的路径上轻边连接的父亲结点会满足 u 在其子树内且不在其重儿子内。这样的结点只有 \mathcal{O}(\log n) 个，用维护黑点深度的线段树重新计算她们的 g,h 值即可。

时间复杂度 \mathcal{O}\left(q\log^2 n\right)，空间复杂度 \mathcal{O}(n)。代码写的一坨。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 200005, I = 5e8; vector<int> g[N];
int n, q, d[N], s[N], h[N], t[N], df[N], id, f[N], rv[N]; bool c[N];
struct SGT {
    int a[N << 2];
    int ls(int x) { return x << 1; } int rs(int x) { return x << 1 | 1; }
    void B(int x, int l, int r) {
        a[x] = I; if (l == r) return; int m = l + r >> 1;
        B(ls(x), l, m); B(rs(x), m + 1, r);
    }
    void U(int x, int l, int r, int k, int v) {
        if (l == r) return void(a[x] = v); int m = l + r >> 1;
        if (k <= m) U(ls(x), l, m, k, v); else U(rs(x), m + 1, r, k, v);
        a[x] = min(a[ls(x)], a[rs(x)]);
    }
    void U(int k, int v) { U(1, 1, n, k, v); }
    int Q(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
        if (ql <= l && r <= qr) return a[x]; int m = l + r >> 1, t = I;
        if (ql <= m) t = Q(ls(x), l, m, ql, qr);
        if (qr > m) t = min(t, Q(rs(x), m + 1, r, ql, qr)); return t;
    }
    int Q(int l, int r) { return l > r ? I : Q(1, 1, n, l, r); }
} t1, t2, t3;
void d1(int u) {
    s[u] = 1;
    for (int v : g[u])
        if (v != f[u]) {
            d[v] = d[u] + 1; f[v] = u; d1(v);
            s[u] += s[v]; if (s[h[u]] < s[v]) h[u] = v;
        }
}
void d2(int u, int p) {
    t[u] = p; df[u] = ++id; rv[id] = u; if (h[u]) d2(h[u], p);
    for (int v : g[u]) if (v != f[u] && v != h[u]) d2(v, v);
}
int lca(int x, int y) {
    for (; t[x] != t[y]; x = f[t[x]]) if (d[t[x]] < d[t[y]]) swap(x, y);
    return d[x] < d[y] ? x : y;
}
void rmk(int x) {
    int k = (h[x] ? min(t1.Q(df[x], df[h[x]] - 1),
                        t1.Q(df[h[x]] + s[h[x]], df[x] + s[x] - 1))
                  : t1.Q(df[x], df[x] + s[x] - 1));
    t2.U(df[x], k - d[x]); t3.U(df[x], k - (d[x] << 1));
}
void U(int x) {
    t1.U(df[x], c[x] ? I : d[x]); c[x] ^= 1; rmk(x);
    for (; f[t[x]]; x = f[t[x]]) rmk(f[t[x]]);
}
int Q(int x, int y) {
    if (d[x] < d[y]) swap(x, y); int a = lca(x, y), k;
    auto F = [&](int v) {
        int r = t1.Q(df[v], df[v] + s[v] - 1) - d[v];
        for (;; v = f[t[v]]) {
            if (t[v] == t[a])
                return make_pair(rv[df[a] + 1],
                                 min(r, t2.Q(df[a] + 1, df[v] - 1)) - d[a]);
            r = min(r, t2.Q(df[t[v]], df[v] - 1));
            if (f[t[v]] != a)
                r = min({r, min(t1.Q(df[f[t[v]]], df[t[v]] - 1),
                                t1.Q(df[t[v]] + s[t[v]],
                                     df[f[t[v]]] + s[f[t[v]]] - 1)) -
                            d[f[t[v]]]});
            else return make_pair(t[v], r - d[a]);
        }
    };
    auto [i, j] = F(x); k = j;
    if (y != a) {
        auto [z, w] = F(y); k = min(k, w); if (df[i] > df[z]) swap(i, z);
        k = min(k, min({t1.Q(df[a], df[i] - 1),
                        t1.Q(df[i] + s[i], df[z] - 1),
                        t1.Q(df[z] + s[z], df[a] + s[a] - 1)}) - (d[a] << 1));
    } else k = min(k, min(t1.Q(df[a], df[i] - 1),
                          t1.Q(df[i] + s[i], df[a] + s[a] - 1)) - (d[a] << 1));
    if (f[a]) k = min(k, min(t1.Q(df[a] + s[a], df[f[a]] + s[f[a]] - 1),
                             t1.Q(df[f[a]], df[a] - 1)) - (d[f[a]] << 1));
    for (a = f[a]; a; a = f[t[a]]) {
        k = min(k, t3.Q(df[t[a]], df[a] - 1));
        if (f[t[a]])
            k = min(k, min(t1.Q(df[f[t[a]]], df[t[a]] - 1),
                           t1.Q(df[t[a]] + s[t[a]],
                                df[f[t[a]]] + s[f[t[a]]] - 1)) -
                       (d[f[t[a]]] << 1));
    }
    return k > N ? -1 : (k << 1) + d[x] + d[y];
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 1, u, v; i < n; ++i)
        scanf("%d%d", &u, &v), g[u].emplace_back(v), g[v].emplace_back(u);
    d1(1); d2(1, 1); t1.B(1, 1, n); t2.B(1, 1, n); t3.B(1, 1, n);
    for (int o, x, y; q--;) {
        cin >> o >> x; if (o & 1) U(x); else cin >> y, printf("%d\n", Q(x, y));
    }
    return 0;
}