题解 P5139 【z小f的函数】

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给定 T 个二次函数 y=ax^2+bx+c，有若干次操作，有一个操作编号 p，保证仅为以下这五种：

在所有操作弄完以后，你还需要给出操作完以后函数的最值（显然，根据 a 的正负来判定，保留 2 位小数）。

Range

  1. 关于 T,m，有 T\leqslant 10,m\leqslant 10000。
  2. 关于其他的变量，保证 a\neq0,u\neq0,a\neq u,1\leqslant p\leqslant5,-100\leqslant a,b,c,k_1,k_2,k,u,v,w\leqslant 100。

Gossip

看完这道题目，我突然回到了初二下学期那段被二次函数支配的时光。我仍然还记得那一条条流动的抛物线……

于是，我拿出了那时候的斗志，开始做这道题目。

Solution

我使用的是一般式进行操作。这么做的优点是，你不需要花多余的时间来求顶点式 a(x-h)^2+k 中的 h 和 k，前期处理比较方便，但问题是后面的计算量非常大，没心理准备根本就是做到一半就崩溃了。所以，这篇题解旨在帮助大家多见识一些复杂的计算，让你从容应对这么多复杂的式子和分类讨论。

话不多说，开始处理每个操作：

Part 1 操作 1

很显然，我们将其上下移动以后改变的只是常数项的值。

什么什么，你还要我讲原因？

那就请看图吧：

上图中蓝色的曲线是函数 y=x^2+6x+5 的图像，而绿色的曲线是函数 y=x^2+6x+4 的图像。我们可以看到，蓝色的曲线和 y 轴的交点是 (5,0)，而绿色的曲线和 y 轴的交点为 (4,0)，所以正好和常数项相对应。

或者我们也可以这样：

设 y_1=a_1x^2+b_1x+c_1,y_2=a_2x^2+b_2x+c_2。

令两个函数的 x 都等于 0，分别代入两个函数中可得 y_1=c_1,y_2=c_2。

本来这个很显然的，但我想为了照顾那些还没有学二次函数的学弟，所以还是写写吧。

故，操作后的函数为 y=ax^2+bx+c+k。

Part 2 操作 2

这个用顶点式的话很方便，但是我们这里只提一般式的做法，不过会借用一下顶点式。

首先，我们可以由顶点式 y=a(x-h)^2+s（由于为避免与题面中的 k 重复，故改为 s）向右平移 k 格后的式子为 y=a(x-h-k)^2+s，然后再把它拆开，得到：y=ax^2-(2ak+2ah)x+ah^2+ak^2+2ahk+s。又由于我们知道 h=-\dfrac{b}{2a},s=\dfrac{4ac-b^2}{4a}，所以，直接将它强算过来，可以得到 y=ax^2+(b-2ak)x+ak^2-bk+c。

故，操作后的函数为 y=ax^2+(b-2ak)x+ak^2-bk+c。

Part 3 操作 3

首先，我们令一个在抛物线上的点为 (x_0,y_0)，所以我们就有在与 (k_1,k_2) 对称后的坐标为 (2k_1-x_0,2k_2-y_0)。

什么什么，要我讲原因？

可以，那请听我说：由于它们的横坐标和纵坐标之差分别为 (x_0-k_1,y_0-k_2)，所以它的对称点的坐标为 (k_1-(x_0-k_1),k_2-(y_0-k_2))\Rightarrow(2k_1-x_0,2k_2-y_0)。

那么我们再代入到 y=ax^2+bx+c 中可得：2k_2-y_0=a(2k_1-x_0)^2+b(2k_1-x_0)+c，因此可得到 y_0=2k_2-a(2k_1-x_0)^2-b(2k_1-x_0)-c。

那么再对右边的式子进行化简，然后再合并 x 同类项，可得到 y_0=-ax_0^2+(4ak_1+b)x_0+2k_2-4ak_1^2-2bk_1-c。

故，操作后的函数为 y=-ax^2+(4ak_1+b)x+2k_2-4ak_1^2-2bk_1-c。

Part 4 操作 4

这一段是我们的重头戏。

首先根据 a<0 和 a>0 两大类，再通过 k_1,k_2 以及 x'=-\dfrac{b}{2a} 之间的关系进行分类讨论。

笔者温馨提示：自己画一个函数图像具体分析，下面的两个图中作为例子的函数解析式左边有。

好的，那么现在就开始吧。

4.1 a<0

那么这时候还需要 4 种情况来分类讨论：

4.2 a>0

同样，这时候还需要 4 种情况来分类讨论：

至此，所有的分类讨论就完了，直接判断条件对应输出结果就好。

Part 5 操作 5

这个倒比操作 4 简单，直接联立一下就得到 ax^2+bx+c=ux^2+vx+w。所以，我们就只需要判断这个方程是否有实数根就好了。

我们将上面这个方程移项，可以得到 (a-u)x^2+(b-v)x+c-w=0，所以，我们可以得到 \triangle=(b-v)^2-4(a-u)(c-w)。根据 \triangle 可以判别出这个方程实数根的情况，也就可以判断这两个函数图像是否有交点了。具体如下——

当 \triangle\geqslant 0 时，这个方程有实数根，这两个函数图像也就有交点了；否则，当 \triangle<0 时，这个方程没有实数根，这两个函数图像也就没有交点了。

至此，用一般式解决本题的算法也就讲完了。顶点式的话题解区里的大佬们已经讲得很清楚了。

如有不懂的话，下面的代码也许能帮助你。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int t;

double f(double a, double b, double c, double x) {
    return a * x * x + b * x + c;
}

int main() {
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        double a, b, c;
        int m;
        scanf("%lf%lf%lf%d", &a, &b, &c, &m);
        while(m--) {
            int opt;
            scanf("%d", &opt);
            if(opt == 1) {
                double k;
                scanf("%lf", &k);
                double a0 = a, b0 = b, c0 = c + k;
                a = a0, b = b0, c = c0;
            } 
            else if(opt == 2) {
                double k;
                scanf("%lf", &k);
                double a0 = a, b0 = b - 2 * a * k, c0 = a * k * k - b * k + c;
                a = a0, b = b0, c = c0;
            }
            else if(opt == 3) {
                double k1, k2;
                scanf("%lf%lf", &k1, &k2);
                double a0 = -a, b0 = 4 * a * k1 + b, c0 = 2 * k2 - 4 * a * k1 * k1- 2 * b * k1 - c;
                a = a0, b = b0, c = c0;
            }
            else if(opt == 4) {
                double k1, k2, xp = -(b / (2 * a)), yp = (4 * a * c - b * b) / (4 * a);
                scanf("%lf%lf", &k1, &k2);
                if(a > 0) {
                    if(k2 < xp) {
                        printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, k2), f(a, b, c, k1));
                    }
                    else if(k1 < xp) {
                        if(k2 - xp < xp - k1) {
                            printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, xp), f(a, b, c, k1));
                        }
                        else if(k2 - xp >= xp - k1) {
                            printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, xp), f(a, b, c, k2));
                        }
                    } else {
                        printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, k1), f(a, b, c, k2));
                    }
                } else if(a < 0) {
                    if(k2 < xp) {
                        printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, k1), f(a, b, c, k2));
                    }
                    else if(k1 < xp) {
                        if(k2 - xp < xp - k1) {
                            printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, k1), f(a, b, c, xp));
                        }
                        else if(k2 - xp >= xp - k1) {
                            printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, k2), f(a, b, c, xp));
                        }
                    } else {
                        printf("%.2lf %.2lf\n", f(a, b, c, k2), f(a, b, c, k1));
                    }
                }
            }
            else if(opt == 5) {
                double u, v, w;
                scanf("%lf%lf%lf", &u, &v, &w);
                double delta = (b - v) * (b - v) - 4 * (a - u) * (c - w);
                puts(delta < 0 ? "0" : "2");
            }
        }
        printf("%.2lf\n", (4 * a * c - b * b) / (4 * a));
    }
    return 0;
}