题解：P10802 [CEOI2024] 核酸检测

· · 题解

我们考虑用 dp 算出期望最优的策略：设 f_{i,j} 表示剩下 i 个人，其中有 j 个人，他们中已经被确定至少有一个 1 的期望次数。

当 j=0 时，我们枚举 k 表示查询 i 个人中的多少人。如果这些人中没有 1（概率为 (1-P)^k），会从 f_{i-k,0} 转移过来，否则会从 f_{i,k} 转移过来。

当 j=1 时，从 f_{i-1,0} 转移过来（已经确定是这个人了）。

当 j>1 时，我们枚举 k 表示查询这 j 个人中的多少人。如果这些人中没有 1（概率为 \frac{(1-P)^{k}-(1-P)^{j}}{1-(1-P)^j}），会从 f_{i-k,j-k} 转移过来，否则会从 f_{i,k} 转移过来。dp 的过程中记录转移的路径。

交互过程只需要根据 dp 得到的路径来构造就行了。时间复杂度为 \mathcal O(n^3)，注意实现常数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
/// You may use:

// The number of students
int N;

// The probability any given student is positive
double P;

// This function performs a test on a subset of samples.
// Its argument is a vector of Booleans of length N,
// where the i-th element is true if the i-th sample should be added to the mix.
// It returns true if (and only if) at least one of the samples in the mix is positive.
bool test_students(std::vector<bool> mask) {
    assert(mask.size() == (size_t)N);

    std::string mask_str(N, ' ');
    for (int i = 0; i < N; i++)
        mask_str[i] = mask[i] ? '1' : '0';

    printf("Q %s\n", mask_str.c_str());
    fflush(stdout);

    char answer;
    scanf(" %c", &answer);
    return answer == 'P';
}

/// You should implement:

// This function will be called once for each test instance.
// It should use test_students to determine which samples are positive.
// It must return a vector of Booleans of length N,
// where the i-th element is true if and only if the i-th sample is positive.

typedef double ld;
const ld INF=1e9;
ld dp[1009][1009],pb[1009];
int trans[1009][1009];
mt19937 rnd(time(0));
std::vector<bool> find_positive(bool typ) {
    std::vector<bool> answer(N);
    if(typ){
        rep(i,0,N-1){
            vector<bool>msk(N);
            msk[i]=1;
            if(test_students(msk))answer[i]=1;
        }
        return answer;
    }
    vector<int>ord(N);
    iota(ord.begin(),ord.end(),0);
    shuffle(ord.begin(),ord.end(),rnd);
    int i=N,j=0;
    while(i){
        if(j==1){
            answer[ord[i-1]]=1;
            i--,j=0;
            // if(i)shuffle(ord.begin(),ord.begin()+i-1,rnd);
            continue;
        }
        vector<bool>msk(N);
        int k=trans[i][j];
        per(p,i-1,i-k)msk[ord[p]]=1;
        bool res=test_students(msk);
        if(j){
            if(!res)i-=k,j-=k;
            else j=k;
        }
        else {
            if(!res)i-=k;
            else j=k;
        }
    }
    return answer;
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d %lf %d", &N, &P, &T);
    if(T>1){
        pb[0]=1;
        rep(i,1,N)pb[i]=pb[i-1]*(1-P);
        rep(i,0,N+1){
            rep(j,0,N+1)dp[i][j]=INF;
        }
        rep(i,0,N+1)dp[0][i]=0;
        rep(i,1,N){
            dp[i][1]=dp[i-1][0];
            rep(j,2,i){
                rep(k,1,j){
                    ld prob=(pb[k]-pb[j])/(1-pb[j]);
                    ld val=dp[i-k][j-k]*prob+dp[i][k]*(1-prob)+1;
                    if(val<dp[i][j])dp[i][j]=val,trans[i][j]=k;
                }
            }
            rep(j,1,i){
                ld val=dp[i-j][0]*pb[j]+dp[i][j]*(1-pb[j])+1;
                if(val<dp[i][0])dp[i][0]=val,trans[i][0]=j;
            }
        }
    }
    // You may perform any extra initialization here.

    for (int i = 0; i < T; i++) {
        std::vector<bool> answer = find_positive(T==1);
        assert(answer.size() == (size_t)N);
        std::string answer_str(N, ' ');
        for (int j = 0; j < N; j++)
            answer_str[j] = answer[j] ? '1' : '0';

        printf("A %s\n", answer_str.c_str());
        fflush(stdout);

        char verdict;
        scanf(" %c", &verdict);
        if (verdict == 'W')
            exit(0);
    }

    return 0;
}