题解 P1153 【点和线】
这道题有很多方法，可以用凸包来做，也可以用深搜来做（因为数据实在是小的可怜）
前两篇题解用的深搜，搜索中有一个重要的内容就是判断两线段有没有交点的问题，这个其实不难
最简单易懂的方法就是：
线段的两端既然都知道了，轻轻松松就能算出两条线段所在直线的解析式，解析式求出来之后求两直线的交点，再和两条已知线段的端点进行比较，看是不是在端点限定的区间内就行了，这个方法代码简单，运算简便，简直有点简单的不像话，具体代码我就不贴了
现在来一发思维缜密的高大上的方法：向量叉乘
问题：给出两条线段，问两线段是否相交？
向量叉乘（行列式计算）：向量a（x1，y1），向量b（x2，y2）：
首先我们要明白一个定理：向量a×向量b（×为向量叉乘），若结果小于0，表示向量b在向量a的顺时针方向；若结果大于0，表示向量b在向量a的逆时针方向；若等于0，表示向量a与向量b平行。（顺逆时针是指两向量平移至起点相连，从某个方向旋转到另一个向量小于180度）。如下图：
在上图中，OA×OB = 2 > 0， OB在OA的逆时针方向；OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0，后一个在前一个的逆时针方向；小于零，后一个在前一个的顺时针方向。
那如何来判断两线段是否相交呢？
假设有两条线段AB，CD，若AB，CD相交，我们可以确定：
1.线段AB与CD所在的直线相交，即点A和点B分别在直线CD的两边；
2.线段CD与AB所在的直线相交，即点C和点D分别在直线AB的两边；
上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件，所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边，点C和点D分别在直线AB的两边，这样便可以证明线段AB与CD相交了。
那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢？有，我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图：
在上图中，线段AB与线段CD相交，于是我们可以得到两个向量AC，AD，C和D分别在AB的两边，向量AC在向量AB的逆势针方向，AB×AC > 0；向量AD在向量AB的顺势针方向，AB×AD < 0，两叉乘结果异号。
这样，方法就出来了：如果线段CD的两个端点C和D，与另一条线段的一个端点（A或B，只能是其中一个）连成的向量，与向量AB做叉乘，若结果异号，表示C和D分别在直线AB的两边，若结果同号，则表示CD两点都在AB的一边，则肯定不相交。
当然，不能只证明C，D在直线AB的两边，还要用相同的方法证明A，B在直线CD的两边，两者同时满足才是线段相交的充要条件。
不过，线段相交还有一些特殊情况：
1.只有1点相交，如下图：
上图中，线段AB与CD相交于C点，按照之前介绍的方法，我们可以连成两向量AD和AC，这时候，我们发现，AC与AB共线，AB×AC = 0；而AB×AD < 0；两者并不异号，可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中，有一方为0，也可以看成点CD在直线AB的两边。
2.两条线段重合，如下图：
在上图中，线段AB与线段CD重合，重合部分为CB，这种重合的情况要特殊判断：
首先，我们给没条线段的两个端点排序，大小判断方法如下：横坐标大的点更大，横坐标相同，纵坐标大的点更大。
排好序后，每条线段中，小的点当起点，大的当终点。我们计算向量AB×向量CD，若结果为0，表示线段AB平行CD，平行才有了重合的可能；但平行也分共线和不共线，只有共线才有可能重合，看下图：
上图中，第一种情况不共线，第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢？
我们可以在两条线段中各取一点，用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘，结果若为0，就表示两线段共线，如下图：
我们取向量BC，若BC×CD = 0，表示两点共线，即是第二种情况，否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线？因为他们没有相交。。。（尬）
然然然然然而，即使他们共线，却还是不一定重合，就如上图中第二种情况。这时候，之前给点排序的妙处就体现出来了：
若一条线段AB与另一条线段CD共线，且线段AB的起点小于等于线段CD的起点，但线段AB的终点（注意是终点）大于等于线段CD的起点（注意是起点），或者交换一下顺序，CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个，就表示有重合部分。
但是：洛谷的数据很水，这里面的特殊情况一个都没有
因此，会用叉乘判断就能过这一题了
话不多说，晒出你们最爱的代码：
（我是个萌新，啥高端操作都不会，代码看两眼你就懂了）
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct point{
double x,y;
}po[5],map[11];
point a,b,c,d;
int n=1,ans;
int path[11];
bool vis[11];
bool disallow[11][11][11][11];
inline int compare(point a,point b)
{
if(a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<b.y) return -1;
else if(a.x==b.x&&a.y==b.y) return 0;
else return 1;
}
inline bool cmp(point a,point b)
{
if(a.x!=b.x) return a.x<b.x;
else return a.y<b.y;
}
inline double compute(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
return x1*y2-x2*y1;
}
bool judge(point a,point b,point c,point d)
{
po[1]=a;po[2]=b;
po[3]=c;po[4]=d;
sort(po+1,po+3,cmp);
sort(po+3,po+5,cmp);
if(compute(po[1].x-po[2].x,po[1].y-po[2].y,po[3].x-po[4].x,po[3].y-po[4].y)==0) //两线段平行
{
if(compute(po[1].x-po[2].x,po[1].y-po[2].y,po[1].x-po[3].x,po[1].y-po[3].y)==0) //两线段共线
{
if(compare(po[1],po[3])<=0&&compare(po[2],po[3])>=0) //第一条起点小于第二条起点，第一条终点大于第二条起点
return true;
else if(compare(po[3],po[1])<=0&&compare(po[4],po[1])>=0) //第二条起点小于第一条起点，第二条终点大于第一条起点
return true;
else return false;
}
else return false;
}
else if(compute(po[1].x-po[2].x,po[1].y-po[2].y,po[3].x-po[4].x,po[3].y-po[4].y)!=0) //两线段不平行
{
double num1,num2,num3,num4;
num1=compute(po[1].x-po[2].x,po[1].y-po[2].y,po[1].x-po[3].x,po[1].y-po[3].y);//判断第一条线的两端点
num2=compute(po[1].x-po[2].x,po[1].y-po[2].y,po[1].x-po[4].x,po[1].y-po[4].y);//在第二条线的两边
num3=compute(po[1].x-po[3].x,po[1].y-po[3].y,po[3].x-po[4].x,po[3].y-po[4].y);//判断第二条线的两端点
num4=compute(po[2].x-po[3].x,po[2].y-po[3].y,po[3].x-po[4].x,po[3].y-po[4].y);//在第一条线的两边
if(num1*num2<=0&&num3*num4<0||num1*num2<0&&num3*num4<=0) //等于0表示一条线段的某一端点在另一条线段上
return true;
else return false;
}
else return false;
}
void dfs(int step,int now)
{
if(step==n+1) {
ans++;
//
// for(int i=0;i<=step;i++)
// printf("%d ",path[i]);
// printf("\n");
//
return;}
if(step==n) vis[1]=false;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(vis[i]) continue;
bool flag=true;
for(int j=0;j<step-2&&flag;j++)
if(disallow[path[j]][path[j+1]][now][i]) flag=false;
if(flag)
{
path[step]=i;
vis[i]=true;
dfs(step+1,i);
vis[i]=false;
}
vis[1]=true;
}
}
void ready()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int p=1;p<=n;p++)
for(int q=1;q<=n;q++)
if(judge(map[i],map[j],map[p],map[q])) disallow[i][j][p][q]=true;
}
int main ()
{
while(scanf("%lf%lf",&map[n].x,&map[n].y))
{
if(map[n].x!=0||map[n].y!=0) n++;
else break;
}
path[0]=1;
vis[1]=true;
ready();
dfs(1,1);
printf("%d\n",ans/2);
return 0;
}这题目蛮好的，和直接求两线段有无交点还是有一点点不一样滴：这道题有公共端点不视为有交点，即有公共端点是可以连起来的。细心的读者一定想到了，如果单纯考虑两个线段有没有交点的话这个情况是算作有交点的。没错我当时考虑到了，然后我改了1个多小时才发现这题有公共端点是允许的/泪奔
最后附上参考： 特务依昂 判断两条线段是否相交—（向量叉乘）
感谢您的阅读！^_^