P8540

max0810 · 2022-09-16 11:28:09 · 题解

考试的时候在乱猜结论，交了几遍就过了，证明当然是赛后才想的（）

文中加粗部分是需要读者稍微思考一下原因的地方 （不是重点）。

先考虑一下样例二，将 10^{18} 化成二进制：1101...001000000000000000000。

其实只需要知道末尾有 18 个 0 就行了，因为在 x 变为 x^{2c} 时，后面 18 个 0 就会变成 18\times 2c 个 0，如果再异或 c，就相当于把末尾的几位变成 c，此时除了末尾上的 c，x^{2c}\oplus c 的前面部分的数已经不会影响结果了（因为最后求 \operatorname{lowbit} 就只关心末几位的值）。所以每做一次操作，末几位都是 c，那么最后的 \operatorname{lowbit} 就是 \operatorname{lowbit}(c)。

再扩展到一般情况：

• - $a$ 是偶数，和前面一样：$a^{2c}$ 的末尾至少有 $2c$ 个 $0$，异或 $c$ 就相当于把末尾的几位变成 $c$，因为我们只关心末几位，所以就可以**把原数看成 $c$**。 - $a$ 是奇数，那么 $a^{2c}$ 也是奇数，因为 $c$ 也是奇数，奇数异或奇数就变成了偶数，然后又变成了上一个情况，即奇偶交替。 - 如果最后的数是个奇数，那么 $\operatorname{lowbit}$ 就是 $1$。 - 如果最后是个偶数，那么就要考虑倒数第二步。因为 $b>1$，所以**倒数第二步的数的二进制末尾一定是 $c$**，那么最后答案就相当于 $\operatorname{lowbit}(c^{2c}\oplus c)$。

其实做到这就已经做完了，但是 \operatorname{lowbit}(c^{2c}\oplus c) 还可以化简一下。

考虑用二项式定理展开 c^{2c}：

我们将上式所有项按 \operatorname{lowbit} 大小来排序，最小的两项当然是 1 和 2c(c-1)，因为 c-1 是偶数，所以 \operatorname{lowbit}(2c(c-1))=\operatorname{lowbit}(c-1)\times 2

从第三项开始，所有项的 \operatorname{lowbit} 都不小于 \operatorname{lowbit}(c-1)\times 2，所以 c^{2c} 一定可以被表示为 k\times \operatorname{lowbit}(2(c-1))+1，其中 k\in N^+。

形象点，把 c^{2c} 和 c 的二进制分别表示出来（随便一个例子，只需要看后五位）：

可以发现，最末尾的 1 会抵消，但倒数第二位不会，所以 \operatorname{lowbit}(c^{2c}\oplus c)=\operatorname{lowbit}(c-1)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,c;
ll lb(ll x){return x&-x;}
int main()
{
    cin >> a >> b >> c;
    if(c&1)
    {
        if((a&1)^(b&1))cout << 1; //ab不同奇偶，那么最后答案就是奇数
        else cout << lb(c-1); //ab同奇偶，最后答案就是偶数
    }
    else cout << ((a&1)?1:lb(c));
    return 0;
}