模形式（一）

· · 算法·理论

模群 & 同余子群

集合 S 上所有满足 \det(A)=1 的 2\times2 矩阵对乘法构成一个群，称其为 S 上的模群，记作 \text{SL}_2(S)，通常研究 \text{SL}_2(\mathbb Z) 的性质。

对于 N\in\mathbb N，记 P(N)=\{A\in\text{SL}_2(\mathbb Z)\mid A\equiv I\pmod N\} 为模为 N 的主同余子群。若 P(N)\le\Gamma\le\text{SL}_2(\mathbb Z)，则称 \Gamma 为一个同余子群。

记 \alpha=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}，\beta=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}，G_N=\langle\alpha,\beta\rangle\bmod N\le\text{SL}_2(\mathbb Z/N\mathbb Z)，即 \alpha 和 \beta 在模 N 意义下的生成群。特别的，G_0 即为 \langle\alpha,\beta\rangle。

定理 1

对于任意 \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}，a,b\in\mathbb Z，存在 A\in G_0，A\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gcd(a,b)\\0\end{bmatrix}。

使用 \alpha 和 \beta 进行欧几里得算法即可。

定理 2

对于 \overline M=\begin{bmatrix}\overline a&\overline b\\\overline c&\overline d\end{bmatrix}\in\text{SL}_2(\mathbb Z/N\mathbb Z)，任取 \mathbb Z 上的 2\times 2 矩阵 M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} 满足 M\equiv\overline{M}\pmod N，由 \det(M)=ad-bc\equiv 1\pmod N，由裴蜀定理知 \gcd(a,c,N)=1，记 g=\gcd(a,c)，那么有 \gcd(g,N)=1。

由定理 1，取 A,B\in G_0 使得 A\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}g\\0\end{bmatrix},B\begin{bmatrix}g\\N\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}，令 \overline A=A\bmod N,\overline B=B\bmod N，则有 \overline B\overline A\begin{bmatrix}\overline a\\\overline c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline 1\\\overline 0\end{bmatrix}，故有 n,m\in\mathbb Z 使得 \overline B\overline A\begin{bmatrix}\overline a&\overline b\\\overline c&\overline d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline 1&\overline n\\\overline 0&\overline m\end{bmatrix}\in\text{SL}_2(\mathbb Z/N\mathbb Z)，则 \overline m=\overline 1，故 \begin{bmatrix}\overline a&\overline b\\\overline c&\overline d\end{bmatrix}=\overline A^{-1}\overline{B}^{-1}\alpha^n\in G_N。

取 N=0，即得到 \langle\alpha,\beta\rangle=\text{SL}_2(\mathbb Z)。

同余子群的群作用

记 \mathbb H 表示 \{z|\text{Im}(z)>0\}，即上半复平面。考虑同余子群 \Gamma，对于 \gamma=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in\Gamma，定义群作用 \Gamma\times\mathbb H\mapsto\mathbb H 为 \gamma(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}。

下面来验证这确实是一个群作用：单位矩阵的作用不变，且 \gamma_1(\gamma_2(x))=(\gamma_1\gamma_2)(x)。对于封闭性：

\begin{aligned} \text{Im}(\gamma(x))&=\text{Im}\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\\ &=\text{Im}\left(\dfrac{(ax+b)(c\overline x+d)}{(cx+d)(c\overline x+d)}\right)\\ &=\text{Im}\left(\dfrac{ac|x|^2+adx+bc\overline x+bd}{|cx+d|^2}\right) \end{aligned}

实数项对虚部没有影响，去除：

\dfrac{(ad-bc)\text{Im}(x)}{|cx+d|^2}

由于 ad-bc=\det(\gamma)=1，故 \text{Im}(\gamma(x))=\dfrac{\text{Im}(x)}{|cx+d|^2}>0。

考虑扩张定义至所有 \mathbb H\mapsto\mathbb C 的函数上。定义自守因子 j(\gamma,x)=cx+d。对于 k\in\mathbb Z，定义权为 k 的、作用在全体 \mathbb H\mapsto\mathbb C 的函数上的算子 [\gamma]_k，满足：

(f[\gamma]_k)(x)=[j(\gamma,x)]^{-k}f(\gamma(x))

性质 1~3

性质 3 直接求导再利用 \det(\gamma)=1 的性质即可验证，性质 1 由下面的性质可以推出：

\gamma\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}=j(\gamma,x)\begin{bmatrix}\gamma(x)\\1\end{bmatrix}

这个直接展开来算就能验证。

再考虑 \gamma_1\gamma_2\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}=(\gamma_1\gamma_2)\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}=\gamma_1\left(\gamma_2\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}\right)，将其展开后立即得证。

性质 2，按照定义将其写成自守因子的形式，按照性质 1 即可证明。

有什么用呢，性质 2 告诉我们，结合 \text{SL}_2(\mathbb Z) 的有限生成性，我们只需要研究其生成元对函数的作用即可。