题解：P12345 [蓝桥杯 2025 省 A 第二场] 双子星的讯息

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题目大意

找到所有满足 n+20255202 与 n+10244201 均为完全平方数的 n 的个数。

解题思路

题目条件可以等价于存在整数 a 和 b 使得：

n+20255202=a^2\\ n+10244201=b^2 \end{cases}

在上面的两个等式中，我们可以消去 n，得到：

a^2-b^2=(a+b)(a-b)=20255202-10244201=10011001

接下来，我们就要找出 10011001 的所有因数对 (d,\frac{10011001}{d})，其中 d<\frac{10011001}{d}。

第一种方法

对 10011001 分解质因数后我们可以得到满足条件的因数对:

(1,10011001) (7,1430143) (11,910091) (13,770077) (73,137137) (77,130013) (91,110011) (137,73073) (143,70007) (511,19591) (803,12467) (949,10549) (1001,10001) (1507,6643) (1781,5621) (2849,3514)

后面的解不满足 d<\frac{10011001}{d}，所以到此为止。

又因为 n=a^2-20255202，且 $n

所以我们遍历所有因数对，计算 $a$ 和 $b$，然后检查 $a\ge 4501$ 即可。最后解得有 ``14`` 个满足题意的 $n$。 ### 第二种方法 上文提到有： $$ a^2-b^2=(a+b)(a-b)=20255202-10244201=10011001$$ 所以令 $d=a-b$，$D=a+b$，则 $d\times D=10011001$，即 $D=\frac{10011001}{d}$，并且 $d<D$，且 $d$ 和 $D$ 同奇偶（因为 $a$ 与 $b$ 均为整数）。 因为 $n=a^2-20255202$，且 $n $ 为正整数，所以 $a^2>20255202$，又 $\sqrt{20255202} \approx 4500.577$，因而 $a\ge 4501$。 又 $n=b^2-10244201$，且 $n $ 为正整数，所以 $b^2>10244201$，又 $\sqrt{10244201} \approx 3200.656$，解得 $b\ge 3201$。 又由 $a=\frac{d+D}{2}\ge 4501$，得： $$ d+D\ge 9002$$ 由 $b=\frac{D-d}{2}\ge 3201$，得： $$ D-d\ge 3201$$ 所以才可得： $$\begin{cases} d+\frac{10011001}{d}\ge 9002 \\ \frac{10011001}{d} -d \ge 6402 \end{cases}$$ 解得 $d\le 1299$，之后我们枚举 ``10011001`` 小于 ``1299`` 的因数个数即可，最终解得有 ``14`` 个满足题意的 $n$。