题解 P2519【[HAOI2011]problem a】
xyz32768
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题解
这里把第i个人的名次，定义为分数严格高于第i个人的人数加1。
把条件进行转化，可以得到「a_i个人分数比我高，b_i个人分数比我低」实际上就是「我是第a_i+1名， 算上我一共有n-a_i-b_i个人和我分数相同」。这里设l_i=a_i+1，r_i=n-b_i。意义是将分数从大到小排序之后，与第i个人分数相同（包括第i个人）的区间是[l_i,r_i]。
先去掉一些必假的话。
1、如果l_i>r_i，那么第i个人说的话必假。
2、如果l_i和r_i都相等的人出现了超过r_i-l_i+1个，那么最多只有其中的r_i-l_i+1个人说了真话，超出r_i-l_i+1部分的人说的话必假。
判断第2个条件，可以按照l为第一关键字，r为第二关键字从小到大排序来判断。去掉所有必假的话之后，把l和r都相等的人合并成一个区间（左右端点不变），并给区间定义一个价值，即为合并之前满足l_i等于该区间左端点且r_i等于该区间右端点的人数。
这样，求最多有多少人说真话，就变成了这一个问题：m个区间，每个区间为[L_i,R_i]，价值为V_i，从中选出若干个没有交集的区间，求选出区间的最大价值和。
这样就可以DP了。先把区间按R_i排序，设f[i]为到第i个区间的最优解。
转移就是先二分查找当k\in[1,i-1]时满足R_k<L_i的最大的k值，那么，转移方程就是：
最后答案就是$n-f[m]$。
代码：
```cpp
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 1e5 + 5;
int n, tn, f[N];
struct cyx {
int l, r, v;
} a[N], b[N];
bool comp1(cyx a, cyx b) {
if (a.l != b.l) return a.l < b.l;
return a.r < b.r;
}
bool comp2(cyx a, cyx b) {
if (a.r != b.r) return a.r < b.r;
return a.l < b.l;
}
int findx(int l, int r, int val) {
while (l <= r) {
int mid = l + r >> 1;
if (a[mid].r < val) l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
return r;
}
int main() {
int i, x, y, tmpn; tmpn = read();
for (i = 1; i <= tmpn; i++) a[i].l = read() + 1, a[i].r = tmpn - read();
sort(a + 1, a + tmpn + 1, comp1);
for (i = 1; i <= tmpn; i++) if (a[i].l <= a[i].r) b[++tn] = a[i];
for (i = 1; i <= tn; i++) if (i == 1 || b[i].l != b[i - 1].l ||
b[i].r != b[i - 1].r) a[++n] = b[i], a[n].v = 1;
else if (a[n].v < a[n].r - a[n].l + 1) a[n].v++;
sort(a + 1, a + n + 1, comp2); f[1] = a[1].v;
for (i = 2; i <= n; i++) {
int nxt = findx(1, i - 1, a[i].l);
f[i] = max(f[i - 1], f[nxt] + a[i].v);
}
cout << tmpn - f[n] << endl;
return 0;
}
```