关于欧拉公式的证明
good1210
·
·
算法·理论
关于 e^{i\pi}+1=0 的简单证明
前置知识
关于 e
建议已学习自然常数及导数的跳过
有极限
\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x
这个极限的结果即为 e.
关于导数
称一个函数 f(x) 的导数为 f'(x) 或 \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x). n 阶导数为 f^{(n)}(x)
一个函数的导数为函数的瞬时变化率。
在区间 \left[x,x+\Delta x\right] 中，函数的变化率为 \dfrac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
当 \Delta x 趋向于 0 时，此时的变化率就为这个函数的导数。用极限表示，即为
{f}'{(x)}=\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}
关于导数，也有如下公式
C'=0\\
(f\pm g)'=f'\pm g' \\
(fg)'= f'g+fg' \\
(x^n)'=nx^{n-1} \\
定义函数 f(x)=e^x，则 {f}'{(x)} 为
\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{e^{x + \Delta x}-e^x}{\Delta x}
即
\lim_{\Delta x \to 0} e^{x}\cdot\dfrac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}
而中间的极限部分的结果为 1，满足这个条件的数就是 e，其约等于 2.718. 也称其为自然常数
关于 i
建议学习了虚数及复数的跳过
关于一元二次方程 x^2+1=0，判别式 \Delta=0^2-4=-4<0，意味着这个方程在实数域内无解。
定义虚数单位 i^2=-1，即 i=+\sqrt{-1}，则上述方程的解为
\begin{cases}
x_1=i \\
x_2=-i \\
\end{cases}
关于 i 的 n 次方，以下为 n\in[1,4] 时的结果
| i 的 n 次方 |
结果 |
| i^1 |
i |
| i^2 |
-1 |
| i^3 |
-i |
| i^4 |
1 |
当 n > 4 时，i^n 的结果即为 i^{n \bmod4}。
设 n=4k+m(0\le m<4,m,k\in \mathbb{N^*})
则 i^n=i^{4k+m}=i^{4k}\times i^m=(i^4)^k\times i^m=1\times i^m=i^m
其中 m=n\bmod 4.
关于 \pi
建议学习过圆周率及关于圆的基本知识的跳过
用 $\pi$ 可求圆形的面积和周长，具体的
$$
C= 2\pi r=d\pi \\
$$
$$
S=\pi r^2 \\
$$
其中 $r$ 为半径，$d$ 为直径。
### 关于正弦的导数及其规律
关于正弦函数的导数，即 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x$，导数即为
$$\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$$
展开 $\sin(x+\Delta x)$，得
$$\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}$$
合并同类项，得
$$\underset{(\text{sine I})}{\underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\sin x\dfrac{(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}}}+\underset{(\text{sine II})}{\underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\cos x\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}}}$$
#### 计算 $(\text{sine II})
如上图，\angle ADB=\angle ADC=\Delta x，AD=1
当 \Delta x 趋向于 0 时，AC 也趋向于 \stackrel\frown{AB}
其中 AC=\sin \Delta x，AB=\Delta x
故 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1
所以 \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\cos x\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1
计算 (\text{sine I})
上述中 \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1，则 \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{(\sin \Delta x)^2}{{(\Delta x)}^{2}}=1.
将 (\sin \Delta x)^2 替换为 1-(\cos \Delta x)^2，则
\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1-(\cos \Delta x)^2}{{(\Delta x)}^{2}}=1
运用平方差公式，得
\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{(1-\cos \Delta x)(1+\cos \Delta x)}{{(\Delta x)}^{2}}=1
展开，得
\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\cdot\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1+\cos \Delta x}{{\Delta x}}=1
将 \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{1+\cos \Delta x}{{\Delta x}} 移至右边，得
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1}{\frac{1+\cos\Delta x}{\Delta x}}
整理右边，得
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta x}{1+\cos\Delta x}
将右边带入 \Delta x=0，得
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=\dfrac{0}{1+\cos 0}
整理右边，得
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=\dfrac{0}{1}
即
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=0
两边同时乘 -1，得
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{-1+\cos \Delta x}{\Delta x}=0
即
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0
两边同时乘上 \sin x，得
\lim_{\Delta x\to 0}\sin x\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0
正弦的导数
带入原式，可得
0\sin x+1\cos x=\cos x
关于余弦的导数
关于余弦的导数，即 \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x，导数即为
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}
展开 \cos(x+\Delta x)，得
\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}
合并同类项，得
\underset{(\text{cosine I})}{\underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\cos x\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}}}-\underset{(\text{cosine II})}{\underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\sin x\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}}}
计算 (\text{cosine I})
联立 (\text{sine I}) 中内容可知，
\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0
两边同时乘上 \cos x，得
\lim_{\Delta x\to 0} \cos x\dfrac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}=0
计算 (\text{cosine II})
联立 (\text{sine II}) 中内容可知，
\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1
两边同时乘上 \sin x，得
\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\sin x\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}=\sin x
余弦函数的导数
代入原式，得
0-\sin x = -\sin x
正弦、余弦导数的规律
观察正弦函数的导数，称正弦函数的 n 阶导数为 {(\sin x)}^{(n)}。
| n(0\le n\le 4) |
正弦函数的 n 阶导数 |
| 0 |
\sin x |
| 1 |
\cos x |
| 2 |
-\sin x |
| 3 |
-\cos x |
| 4 |
\sin x |
观察发现，正弦函数的 n 阶导数从 4 开始循环，具体地，
(\sin x)^{(n)}=(\sin x)^{(n\bmod 4)}
而对于余弦函数的导数，与正弦函数类似，列表：
| n(0\le n\le 4) |
余弦函数的 n 阶导数 |
| 0 |
\cos x |
| 1 |
-\sin x |
| 2 |
-\cos x |
| 3 |
\sin x |
| 4 |
\cos x |
余弦函数的导数也是从 4 开始循环，具体地
(\cos x)^{(n)}=(\cos x)^{n\bmod 4}
正题
不妨设
\sin x = a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+\cdots
代入 x=0，得
a=0
两边同时求导，得
\cos x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+\cdots
代入 x=0，得
b=1
两边再次同时求导，得
-\sin x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3+\cdots
代入 x=0，得
c=0
重复以上过程，得
\sin x = x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5-\cdots
观察发现，上式可写为
\sin x = \dfrac{1}{1!}x^1+\left(-\dfrac{1}{3!}\right)x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots
其中每一单项式的系数的正负性与 x 的次数有关：
于是，
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
与正弦函数相同，设
\cos x=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+\cdots
代入 x=0，得
a=1
两边同时求导，得
-\sin x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+\cdots
代入 x=0，得
b=0
两边再次同时求导，得
-\cos x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3+\cdots
代入 x=0，得
c=-\dfrac{1}{2}
重复以上过程，得到
\cos x=1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4-\cdots
观察发现，上式可写为
\cos x=\dfrac{1}{0!}x^0+\left(-\dfrac{1}{2!}\right)x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+\cdots
其中每一单项式的系数的正负性与 x 的次数有关：
于是
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
又设
e^x=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+fx^5+\cdots
代入 x=0，得
a=1
两边同时求导，得
e^x=b+2cx+3dx^2+4ex^3+5fx^4+\cdots
代入 x=0，得
b=1
两边再次同时求导，得
e^x=2c+6dx+12ex^2+20fx^3\cdots
代入 x=0，得
c=\dfrac{1}{2}
重复以上过程，最终得
e^x=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{24}x^4+\dfrac{1}{120}x^5+\cdots
观察上式，可写为
e^x=\dfrac{1}{0!}x^0+\dfrac{1}{1!}x^1+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots
则
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n
设 x=i\theta \in \mathbb{C}，其中 \theta \in R
观察 e^x 的展开式，将其分为偶数部分和奇数部分，则
e^x=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n}\right)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}\right)
展开，得
e^{i\theta}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)!}i^{2n}\theta^{2n}\right)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)!}i^{2n+1}\theta^{2n+1}\right)
再次展开，得
e^{i\theta}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}\right)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}i\theta^{2n+1}\right)
将 i 移至括号外，则
e^{i\theta}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}\right)+i\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1}\right)
联立上文的 \sin x 与 \cos x 的展开式
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \\
代入，得
e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta
代入 \theta = \pi，得
e^{i\pi}=cos \pi + i\sin \pi=-1+0=-1
两边同时加 1，得
e^{i\pi} + 1 = 0
所以:
\boxed{e^{i\pi} + 1 = 0}
证毕.