题解 P1024 【一元三次方程求解】

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其实公式法虽然赖皮但不失为一种好方法

0.前备知识：

一元三次方程的求解。

对于

ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a\ne0)

求解方法：第一步：配方，换元，去三次项系数

于是只需解形如

x'^3+px'+q=0

的方程。

又有

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \qquad\quad=a^3+b^3+3ab(a+b)

所以令a+b=X，有

X^3=a^3+b^3+3abX

即

X^3+(-3ab)X+(-a^3-b^3)=0

也就是说，要解

x'^3+px'+q=0

只需求出符合条件的a、b即可。这样就直接X=a+b，解出结果。

\begin{cases}-3ab=p\\-a^3-b^3=q\end{cases}

即

\begin{cases}-27a^3b^3=p^3\\-a^3-b^3=q\end{cases}

而这很容易解决，解出p^3和q^3再开根即可。
(其实解出来符合条件的实数对(a,b)只有一组，三个解为

x_1=a+b \quad\,\ x_2=\omega a+\overline{\omega}b \quad\,\ x_3=\overline{ω}a+\omega b

其中\omega为三次单位根\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\overline{\omega}为三次单位根\frac{1-\sqrt{3}i}{2})

1.由此可得出著名的卡尔丹公式：

对于ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),

p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!+\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!\!+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!-\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!-\frac{b}{3a} \quad\ x_2=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!+\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!\!+\!\overline{\omega}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!-\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!-\frac{b}{3a} \quad\ x_3=\overline{\omega}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!+\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!\!+\!\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!-\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!-\frac{b}{3a}

其中出现复数，把实部和虚部分别用一个double存储并分别处理即可。听说有种神奇的东西叫complex?
实际实现时，把\dfrac{q}{2}和\dfrac{p}{3}以及\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\dfrac{p}{2}\right)^3}作为一个整体存储。

2.代码：

略。（让\mathtt{dalao}帮忙实现一下吧。）

3.性能分析：

1.比盛金公式慢，但精度好（盛金公式要用到误差很大的sin和cos）
2.和二分相当且速度受数据范围、精度要求影响小

Update:2019/8/7,更新了一些排版上的bug，同时纠正了一个错误。手打公式不免可能出一些错误，望管理大大包容~
另吐槽：\LaTeX里的\omega好丑