题解 P3239 【[HNOI2015]亚瑟王】
Morning_Glory
2019-09-04 21:05:13
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# $\mathcal{Description}$
给出$n$个技能,每个技能按输入顺序有$p[i]$的概率释放并造成$d[i]$的伤害。每轮游戏从前往后顺序查看每个技能,若技能发动过则跳过,没发动过则以$p[i]$的技能发动,即每个技能只能发动一次,若将一个技能发动,则进行下一轮游戏,没有成功发动或被跳过就查看下一个技能,一轮游戏可能每个技能都不发动,问$r$轮游戏一共能造成的伤害期望。
输入方式
T组数据
接下来组数据
每组数据第一行$n,r$
接下来$n$行$p_i,d_i$表示该技能发动概率以及伤害
1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < p_i < 1, 0 <= d_i <= 1000
输出格式
每组数据输出一行期望伤害,建议保留$10$位小数
# $\mathcal{Solution}$
因为有一个顺序查看的限制,没有后效性的状态是十分不好设的,因为不知道前面有几个技能发动了,若一个技能前面的技能在某轮发动了,则该技能本轮一定不能发动,若前面有些技能发动过,则它们都会被跳过
为了解决这种情况,我们设状态时试着强制限制技能发动($nr$枚举情况),当然,设的状态仍然要满足 __所有__ 情况都考虑在内
设$f[i][j]$表示对前$i$个技能进行了$j$轮游戏造成的 __概率__
若有前$i$个技能进行了$j$
则有$j$轮不会考虑第$i+1$个技能
即有$r-j$轮游戏选择了$i$之后的技能
此时考虑第$i+1$个技能的情况,分为两种
1. 有$p[i+1]^{r-j}$的概率$i+1$号技能从未发动
2. 有$1-p[i+1]^{r-j}$的概率$i+1$号技能发动过
需要注意的是,此时 __已经__ 确定前$i$个技能进行并 __只进行__ 了$j$轮游戏,其概率应该也计算在内
所以有
1. $f[i+1][j]+=1-p[i+1]^{r-j}f[i][j]$
2. $f[i+1][j+1]+=(1-p[i+1]^{r-j})f[i][j]$
$j+1$要小于等于$r$
初值$f[0][0]=1$,答案在中途计算
计算了概率,别忘了求的是期望伤害,在求概率的时候顺便用概率乘以伤害
# $\mathcal{Code}$
```cpp
/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年07月22日 星期一 14时17分22秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 255;
int T,n,r;
double ans;
double p[maxn],d[maxn];
double f[maxn][maxn];
int main()
{
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d%d",&n,&r);
for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&p[i],&d[i]);
for (int i=0;i<=n;++i)
for (int j=0;j<=r;++j)
f[i][j]=0;
ans=0,f[0][0]=1;
for (int i=0;i<=n-1;++i){
int k=min(i,r);
for (int j=0;j<=k;++j){
double tmp=pow(1-p[i+1],r-j);
f[i+1][j]+=f[i][j]*tmp;
if (j+1<=r){
f[i+1][j+1]+=f[i][j]*(1-tmp);
ans+=f[i][j]*(1-tmp)*d[i+1];//计算第i+1张牌造成的期望伤害
}
}
}
printf("%.10lf\n",ans);
}
return 0;
}
```
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