[ABC319G] Counting Shortest Paths 题解

FReQuenter · 2023-09-10 08:38:59 · 题解

题意：给定一张 n 个点的无向完全图，删除 m 条边，求最后 1 到 n 的最短路数量，对 998244353 取模，没有最短路输出 -1。

考虑宽搜。但是普通的宽搜要把所有的边都访问一遍，复杂度 O(n^2)，需要优化。主要分为两个方面：

计算最短路径的数量：

我们令当前访问的点为 u，原图为 G，删掉的边连成的图为 G'，最短路径数量为 f_u，最短路径为 d_u，将要继承的贡献来自点 v。得到这样一个式子：

啥意思呢：对于一条边 \{u,v\}\in G，如果它被删掉了，那么向 u 贡献的最短路就要减去 f_v。如果它是连着的，那么 f_u 就继承 f_v。

这个东西转移也是 O(n^2) 的，所以记录一下 s_i=\sum_{v:d_v=i}f_v 就能把它降到 O(m)（因为只需要关注被删除的边就行了）。

扩展新的点

我们记录所有没有被搜索到的点，那么搜索到一个新点的时候就可以只对那些没有被搜到且在新图中和当前点相连的点就行了。因为只有那些被删除的边会重复被标记，而其它点只会被标记一次，所以这一部分是 O(n+m) 的。

总复杂度 O(n+m)。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
#define MAXN 200005
using namespace std;
int n,m,sum[MAXN],f[MAXN],dist[MAXN];
vector<int> rst,gv[MAXN];
bool vis[MAXN];
signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        gv[u].push_back(v);
        gv[v].push_back(u);
    }
    for(int i=2;i<=n;i++) rst.push_back(i);
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[1]=0;
    f[1]=1;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        if(u!=1) f[u]=sum[dist[u]-1];
        for(auto v:gv[u]){
            vis[v]=1;
            if(dist[v]==dist[u]-1) f[u]=(f[u]+mod-f[v])%mod;
        }
        if(u==n) break;
        sum[dist[u]]+=f[u],sum[dist[u]]%=mod;
        vector<int> tmp;
        for(auto nx:rst){
            if(vis[nx]) tmp.push_back(nx);
            else{
                q.push(nx);
                dist[nx]=dist[u]+1;
            }
        }
        rst=tmp;
        for(auto v:gv[u]) vis[v]=0;
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f3f3f3f3f) cout<<-1;
    else cout<<f[n];
}