P12130 [蓝桥杯 2025 省 B] 移动距离 题解
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题解
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题意
从 (0,0) 到 (233,666)，只允许水平向右移动或以原点为中心旋转，求最短路至整数。
思路
本题可以证明，只回头一次一定不劣（证明放在下面了）。
准确来说，回头几次都无所谓，但是一次好算啊！
所以，我们可以先求 x 轴上距离（就是我们第一次要走的），再走弧即可到达。
对结论的证明：
首先，初始位置在原点，第一步只能是水平移动（圆周移动需半径非零）。水平移动到目标点所在圆后，沿圆周移动是唯一直接到达的方式。
其次，若尝试先水平移动到更小半径再圆周移动，需额外水平移动调整，总距离反而更长。例如，水平移动至较小半径 r，再圆周移动至某点后水平移动，计算表明总距离必然超过结论距离。
最后，通过数学验证，水平移动到 R 后沿圆周移动的总距离为最小值。其他组合方式（如多次交替移动）会引入冗余路径，无法更优。
那么，我们把这个题分成两部分：
1.计算水平方向上要走的距离
可以看出这个距离就是原点到坐标 (233,666) 的距离。
根据勾股定理，可得距离 D 为：
### 2.计算弧的长度
根据弧的长度公式，弧长
$$l = \frac{\theta\pi R}{180}$$。
问题来了，$\theta$ （圆周角）是多大？
这时反三角函数就登场了！
$\theta = \arctan(\frac{666}{233})
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### arctan的定义
arctan是Arctangent的缩写，指反正切函数，它是数学术语，属于反三角函数之一，是正切函数 $y = \tan x$ 的反函数。简单来说，它是一种求逆的运算，就如同乘法的逆运算是除法一样。
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综上，我们可以算出，
$$\theta=\arctan(666/233)=\arctan(2.85837) ≈ 70.7176$$。
带入公式，得弧长
$$l = \frac{70.7176\times705.5\times3.1416}{180} = 870.76887$$。
总长 $D+l = 870.8 + 705.5 = 1576.3$。
这里取整 $1576$。
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代码：
```cpp
#include<iostream>
int main(){
std::cout<<"1576";
}
```
### update
其实这题用 $\arcsin()$ 也可以做，还有泰勒展开。
如果都不会，$\sin()$ 无限逼近也可以。